Question

Sei K ein Körper und n∈N₀.

(a) Sei GL_n(K)⊆K^n×ndie Menge der invertierbaren n×n - Matrizen mit Einträgen in K. Zeigen Sie:

(i)En∈GLn(K);

(ii) S ∈ GL_n(K) ⇒ S⁻¹ ∈ GL_n (K);

(iii) S, T∈ GL_n (K) ⇒ S·T∈GL_n (K)

.(b) Zeigen Sie, dass Ähnlichkeit von Matrizen eine Äquivalenzrelation auf K^n×n ist.

Answer 1

(i)E_n∈GL_n(K);    weil E_n * E_n = E_n  also ist E_n invertierbar 
                               und es ist E_n^(-1) = E_n 

(ii) S ∈ GLn(K) ⇒ S^(−1) ∈ GL_n (K);   weil S^(−1) auch invertierbar ist; denn es ist S^(−1)^(-1) = S

(iii) S, T∈ GLn (K) ⇒ S·T∈GLn (K)    S·T ·T^(-1) ·S^(-1) = E_n

also ist auch   S·T invertierbar

.(b) Zeigen Sie, dass Ähnlichkeit von Matrizen eine Äquivalenzrelation auf Kn×n ist.

zeige die drei Eigenschaften, etwa :

  reflexiv, weil  jede Matrix zu sich selbst ähnlich ist, weil immer

                   M = E_n · M · E_n^(-1) gilt .          etc.