Aloha :)
Du hast eine Funktion \(f(x)\) und die dazugehörige Umkehrfunktion \(f^{-1}(x)\). Wirkt auf ein Argument \(x\) zunächst die Umkehrfunktion und auf das Ergebnis dann die Funktion, erhalten wir wieder das Argument. Das gilt für alle zulässigen Argumente \(x\). Mathematisch formal heißt das:$$x\equiv f(\,f^{-1}(x)\,)$$Dabei soll das \(\equiv\)-Zeihen darauf hinweisen, dass diese Beziehung für alle \(x\) gilt, die als Argumente für die Umkehrfunktion \(f^{-1}(x)\) zugelassen sind.
Jetzt können wir beide Seiten ableiten. Links ist das einfach, rechts benutzen wir die Kettenregel:$$1=\underbrace{f'(\,f^{-1}(x)\,)}_{=\text{äußere}}\cdot \underbrace{\left(f^{-1}\right)'(x)}_{=\text{innere}}$$Jetzt dividieren wir beide Seiten durch \(f'\) und haben die fertige Formel:$$\boxed{\left(f^{-1}\right)'(x)=\frac{1}{f'(\,f^{-1}(x)\,)}}$$Die Formel brauchst du dir eigentlich nicht zu merken, wenn du das Prinzip verstanden hast.
Dazu vielleicht mal ein Beispiel. Wir suchen die Ableitung von \(\arcsin(x)\).
$$x=\sin(\arcsin(x))$$$$1=\cos(\arcsin(x))\cdot\arcsin'(x)$$$$\arcsin'(x)=\frac{1}{\cos(\arcsin(x))}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\arcsin(x))}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
