Marizen, Körper, Eigenwerte und Eigenvektoren...

Question

Sei A eine invertierbare nxn - Matrix über einem Körper K. Man zeige: Ist λ ein Eigenwert von A, so ist (1/λ) ein Eigenwert von A^-1. A und A^-1  haben dieselben Eigenvektoren.

Answer 1

Ist λ ein Eigenwert von A, und v ein Eigenvektor dazu, dann

==>              A*v = λv

Wenn A invertierbar ist, also

                           A^-1 * A*v =  A^-1 *λv = λ* (   A^-1 *v )

                               E * v =  λ* (   A^-1 *v )

                                   v =  λ* (   A^-1 *v )

wenn  λ ≠ 0 dann also auch 

                                   λ^-1 *  v =   A^-1 *v

d.h.:  v ist Eigenvektor zum Eigenwert      λ^-1

m. E. fehlt die Vor.  λ ≠ 0 .  Ach so, ich sehe


gerade: Da A invertierbar ist 0 => Kern ( A) = {0-Vektor},

 
also 0 kein Eigenwert.    zusätzliche Vor. also nicht nötig.

            

Comments

Und damit habe ich dann alles gezeigt?

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Ich denke schon.