Zeigen, dass φ(⟨f,g,h⟩) = ℚ3

Question

Aufgabe:

Seien f(x) = x⁵ - x³ - 1, g(x) = -x⁴ + x² -2x - 4, h(x) = x + 2.

Es sei φ : Abb(ℚ,ℚ) → ℚ³, p ↦ ( p(0), p(2), p(5)). Zeigen Sie: φ(⟨f,g,h⟩) = ℚ³

Ansatz:

Ich könnte ja einfach zeigen, dass ⟨φ(f), φ(g), φ(h)⟩ den ℚ³ erzeugt. Aber das LGS sieht mit einem Rechner schon nicht sehr schön aus, es wäre ja

\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) = α * φ(f) + β * φ(g) + γ * φ(h)

Ich denke, dass ich das sehr viel effektiver zeigen kann. Der Nachweis, dass die drei Vektoren lin. unabhängig sind ist ja vergleichsweise einfach. Dann könnte ich ja argumentieren, dass {φ(f),φ(g),φ(h)} eine maximale linear unabhängige Teilmenge in ℚ³ ist und damit eine Basis. Nur wie sieht dieses Argument aus? Also woher weiß ich, dass diese Teilmenge maximal linear unabhängig ist?

Answer 1

Das weißt du da das System aus 3 Vektoren besteht und \(\dim \mathbb {Q}^3=3\). Mehr als 3 Vektoren in einem 3dim Raum sind immer linear abhängig.

Answer 2

In Q³ bilden doch je 3 Lin unabhängige Vektoren eine Basis, also musst du nur die lineare  Unabhängigkeit zeigen.

Gruß lul