Question

Taylor-Polynom dritter Ordnung für f(x,y)=sin(x)sin(y) in (0,π/4)

Gibt es bei der Aufgabe einen Trick, den ich bisher nicht gefunden habe? Dass Taylorpolynom bis zum dritten Grad zu berechnen, ist doch extrem aufwendig und reine Fleißarbeit - kann man hier irgendwie clever vorgehen und abkürzen?

Comments

Oder muss ich jede Ableitung berechnen und alles ausmultiplizieren?!$$f(x,y)=f(x_0,y_0)+\frac{1}{1!}\left((x-x_0)\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)+(y-y_0)\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\right)+\frac{1}{2!}\left((x-x_0)^2\frac{\partial ^2 f}{\partial x^2}(x_0,y_0)+2(x-x_0)(y-y_0)\frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y}(x_0,y_0)+(y-y_0)^2\frac{\partial ^2 f}{\partial y^2}(x_0,y_0)\right)+\frac{1}{3!}\left((x-x_0)^3\frac{\partial ^3 f}{\partial x^3}(x_0,y_0)+3(x-x_0)^2(y-y_0)\frac{\partial ^3 f}{\partial x^2 \partial y}(x_0,y_0)+3(x-x_0)(y-y_0)^2\frac{\partial ^3 f}{\partial x \partial y^2}(x_0,y_0)+(y-y_0)^3\frac{\partial ^3 f}{\partial y^3}(x_0,y_0)\right)$$

---

Jeder zweite Term fällt weg:

$$ a\equiv 0 \mod (2)\implies \frac{df}{dx^ady^b}(0,\frac{\pi}{4}) = 0 $$

Bleiben 4 Terme, das sollte doch schnell gehen?

---

Ja, ist mir mittlerweile auch aufgefallen... Trotzdem Aufwand, vor allem, weil die Variablen in der Originalaufgabe \(x_1, x_2\) sind und ich das mit \(\LaTeX\) tippe :P

---

Dann sollte:$$T_3(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2}}x+\frac{1}{2}\left(2x(y-\pi/4) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\right)+\frac{1}{6}\left(-x^3\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{3}{\sqrt{2}}x(y-\pi/4)^2  \right)$$ Ok sein, oder?

---

Wenn ich mich selbst nicht verrechnet habe sollte das stimmen.

---

Die Fehleranfälligkeit ist sehr hoch... :P

Naja, sollte schon stimmen... Danke dir für das Nachrechnen. Ich werde das vor dem Schlafengehen noch einmal prüfen... Grüße!

Answer 1

Hallo,

da es sich um ein Produkt zweier Funktionen handelt, die jeweils nur von einem Argument abhängen, kannst du einfach die Taylorreihe von sin(x) an der Stelle x=0 (ist bekannt) mit der Taylorreihe von sin(y) an der Stelle y=pi/4 (diese ausrechnen) multiplizieren.

Also

$$(x-\frac{x^3}{6})*(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{(y-\pi /4)}{\sqrt{2}}-\frac{(y-\pi /4)^2}{\sqrt{2}}-\frac{(y-\pi /4)^3}{\sqrt{2}})$$

Nach dem Ausmultiplizieren entstehen Terme zu großer Ordnung, diese streichst du.

Comments

Warum geht das "einfach so"?

---

Weil du die partiellen Ableitungen nach x bzw. y an der jeweils anderen Variable vorbeiziehen kannst.

$$\frac{\partial}{\partial x}f(x)g(y)=g(y)\frac{\partial}{\partial x}f(x)$$

Die Funktion f(x) interessiert es also nicht, was g(y) macht.

(Formal könntest du das in der allgemeinen Taylorformel ansetzen und zeigen).

---

Ich habe momentan mit großem Aufwand:$$ T_3(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2}}x+\frac{1}{2}\left(2x(y-\pi/4) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\right)+\frac{1}{6}\left(-x^3\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{3}{\sqrt{2}}x(y-\pi/4)^2  \right)$$ rausbekommen.