Trigonometrische Identität mit Hilfe der Additionstheoreme zeigen.

Question

Aufgabe:

Ich muss mittels der Additionstheoreme zeigen, dass:

cos(x)-cos(y) = -2sin((x+y)/2) * sin((x-y)/2)

Problem/Ansatz:

Das Problem besteht dabei, dass ich nicht wirklich weiß, wie man das umformen sollte. Ich habe Uni Mathe und kann daher die Additionstheoreme verwenden.

cos(x+y) = cos(x) * cos(y) - sin(x) * sin(y)

sin(x+y) = sin(x) * cos(y) + sin(y) * cos(x)

Ich brauche da Hilfe es zu verstehen, wie man hier rechnet.

Vielen Dank im Voraus !

Mark Lauer.

Answer 1

Hallo,

schreibe x=(x+y)/2+(x-y)/2 bzw. y=(y+x)/2+(y-x)/2 und wende darauf die Additionstheoreme an. Das ergibt:

cos(x)=cos((x+y)/2+(x-y)/2)=cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2))-sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

cos(y)=cos((y+x)/2+(y-x)/2)=cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2))+sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

also:

cos(x)-cos(y)=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

Answer 2

Ich habe Uni Mathe und kann daher die Additionstheoreme verwenden.
...

sin(x+y) = sin(x) * cos(y) + sin(y) * cos(x)

Dann tue es doch auch.

Vielleicht hast du nur nicht erkannt, dass

sin((x+y)/2)  als

sin(0,5x+0,5y)

geschrieben werden kann.

Answer 3

Versuche es mal mit folgendem "Trick" (den man in verschiedenen Varianten öfter mal anwendet): Ersetze x durch (x+y) / 2 + (x-y) / 2 und y durch (x+y) / 2 - (x-y) / 2. Wende darauf die Additionstheoreme an und fasse zusammen.