Aufgabe:
Die Funktion eines Paraboloids ist gegeben durch z = 4x2 + y2.
Der Startpunkt \( \begin{pmatrix} x_0\\y_0 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\0 \end{pmatrix} \) liegt auf einer Höhe von 1.
Der Weg ist durch folgende Projektion in die xy-Ebene gegeben:
\( \vec{p} \)(t) = \( \begin{pmatrix} \frac{1}{2}(1-t)cos(2πt) \\ (1-t)sin(2πt) \end{pmatrix} \)
Gesucht ist …
a) Steigungswinkel α(t) = arctan(m(t))
b) Bahngeschwindigkeit v(t) = |\( \vec{r} \)'(t)|, mit \( \vec{r} \)(t) = \( \begin{pmatrix} x(t)\\y(t)\\z(t) \end{pmatrix} \)
Problem/Ansatz:
a) z'(t) wurde bereits berechnet: 2t-2
Die Steigung soll durch grad f(\( \vec{p_0} \)) * \( \vec{a} \) berechnet werden können.
Kann bitte geholfen werden diesen Ansatz zu vervollständigen? Die Bildung des Richtungsvektors \( \vec{a} \) führt zu Unklarheiten.
b) Ist der Gedanke korrekt die Elemente des Vektors wie angegeben nach t aufzustellen, einzeln abzuleiten und dann den Betrag des Vektors als Funktion der Bahngeschwindigkeit v(t) zu bilden? Mein bisheriges Ergebnis lautet:
\( \vec{r} \)'(t) = \( \begin{pmatrix} -\frac{1}{2}cos(2πt)-(1-t)πsin(2πt) \\ -sin(2πt)+(1-t)cos(2πt)2π \\ 2t-2 \end{pmatrix} \)
