Nullstellen von "komplexeren" Funktionen bestimmen

Question

ich habe folgendes Problem mit einer Aufgabe:
Und zwar sollen jweils der Definitionsbereich, die Nullstellen und die Monotoniebereiche bestimmt werden.

Aufgabe:
f(x) = (e^x) + e^{x+lnx}

Den Definitionsbereich habe ich bestimmt mit x größer 0, da der lnx nicht kleiner oder gleich Null definiert ist.


Jetzt muss ich die Nullstellen bestimmen:
0 = (e^x) + e^{x+lnx}

Wie gehe ich hier am besten vor?

Für die Monotoniebereiche muss ich ebenfalls dann für f ' (x) die Nullstellen bestimmen, also genau das gleiche
Problem.




LG

Answer 1

Wie so oft hilft ausklammern:

$$e^x+e^{x\cdot ln x}=e^x(1+e^{ln x})=e^x(1+x)=0$$ mit dem Satz vom Nullprodukt ist dann e^x=0 \text{ oder } 1+x=0$$ beide haben keine Nullstellen im Definitionsbereich.

Comments

Ergänze bitte noch schnell Zeilenwechsel und Dollarzeichen, die verschwunden sind bei:

$$e^x=0 \text{ oder } 1+x=0$$

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Ein Tippfehler.

Das Deinige:

$$e^x+e^{x\ln(x)} = e^x+(e^{\ln(x)})^x = e^x+x^x$$

Das wohl gemeinte:

\(e^x+e^{x+\ln(x)} = e^x(1+e^{\ln(x)})\)

;)