Wie bestimme ich die Nullstellen dieser Funktionen?

Question

Gleichung:

\( f(x):=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}, \quad g(x):=\log (1-\sqrt{x}) \quad \) und \( \quad h(x):=\log \left(\frac{x-1}{x^{2}-3 x+2}\right) \)

Ich soll von der Gleichung den maximalen Definitionsbereich bestimmen und ebenso die Nullstellen.

Die Definitionsbereiche habe ich so definiert:

f : → Dmax = {x∈ R mit -1 ⋜  x ⋜  1}

g : → Dmax = {x∈ R+ mit x ⋝ 1}

h : → Dmax = {x∈ R+ mit x  ≠ -2 ∩ -1}

Nur bin ich mir bei den Nullstellen nicht ganz sicher, sind das dieselben Werte?

Answer 1

Schon die Definitionsbereiche weisen Fehler auf.

Setzt doch mal bei f etwas zwischen -1 und 1 ein. Darfst du z.b. 0 einsetzen ?

Ein Bruch hat dort die Nullstellen wo der Zähler Null wird. bei f kann der Zähler nie Null werden, daher gibt es keine Nullstellen.

Der LOG wird null wenn der Argument 1 ist. Das ist bei x = 0 der Fall.

Bei hmuss das Argument des Logarithmus 1 werden. Das ist bei x = 3 der Fall. Also ist 3 die Nullstelle.

Answer 2

f ( x ) = 1 / √ ( x ² - 1 )

Definitionsbereich D:

D = { x | x ² - 1 ≥ 0 } =  { x | x ² ≥ 1 } = { x | | x | ≥ 1 } = { x | x ≤ - 1 ∨ x ≥ 1 }

Nullstellen:

Ein Bruch nimmt genau dann den Wert Null an, wenn sein Zähler den Wert Null annimmt. Vorliegend ist der Zähler konstant Eins , also niemals Null. Daher hat diese Funktion keine reelle Nullstelle.

 

g ( x ) = log ( 1 - √ ( x ) )

Definitionsbereich D:

D = { x | 1 - √ ( x ) > 0 } =  { x | √ ( x ) < 1  } = { x | x < 1 }

Nullstellen:

Die Logarithmusfunktion log ( x ) hat, unabhängig von ihrer Basis, genau eine Nullstelle, nämlich x = 1.

Also:

g ( x ) = log ( 1 - √ ( x ) ) = 0

<=> 1 - √ ( x ) = 1

<=> √ ( x )  = 0

<=> x = 0

 

h ( x ) = log ( ( x - 1 ) / ( x ² - 3 x + 2 ) )

Nenner faktorisieren:

= log ( ( x - 1 ) / ( ( x - 1 ) * ( x - 2 ) ) )

Kürzen mit ( x - 1 )

= log ( 1 / ( x - 2 ) )

Definitionsbereich D:

D = { x | 1 / ( x - 2 ) > 0 } =  { x | x - 2 > 0 } = { x | x > 2 }

Nullstellen:

Die Logarithmusfunktion log ( x ) hat, unabhängig von ihrer Basis, genau eine Nullstelle, nämlich x = 1.

Also:

h ( x ) = log ( 1 / ( x - 2 ) ) = 0

<=> 1 / ( x - 2 ) = 1

<=> x - 2 = 1

<=> x = 3