Wie bestimme ich Nullstellen und Definitionsbereich von f(x)= 1/2 (e^x-e^{-x} )?

Question

 

Wie bestimme ich  Definitionsbereich und Nullstellen folgender Funktion

 f(x)= 1/2 (e^x-e^-x )

Answer 1

f(x)= 1/2(e^x - e^-x)

Der Definitionsbereich ist das, was man für x einsetzen darf. Es gibt hier keinen Grund bestimmte werte einsusetzen, weshalb der Definitionsbereich komplett R ist. Nur bei Brüchen muss man vermeiden das die Nenner Null werden.

e^-x ist zwar als Bruch 1/e^x. Da e^x aber nie Null wird macht uns das kein Problem.

Für die Nullstelle muss in der Funktion die Klammer Null werden.

e^x - e^-x = 0
e^x - 1/e^x = 0 | *e^x
(e^x)^2 - 1 = 0
(e^x)^2  = 1
e^x = +-√1
x = ln(+-1)

x1 = ln(1) = 0

x2 = ln(-1) => Keine Lösung

Die Nullstelle liegt damit bei 0. Wir setzten es mal ein Um zu schauen

f(x)= 1/2(e^0 - e^0) = 1/2 * 0 = 0

Ich zeichne noch mal die Funktion

Was ihr da übrigens gerade untersucht ist die Definition der Sinus Hyperbolicus Funktion.

=> https://de.wikipedia.org/wiki/Sinh