Wie im Titel schon steht würde ich gerne wissen ob es sich bei (2ℤ ∪ {1}, +, •) um einen Integritätsbereich handelt.
Um das zu zeigen muss ich ja zeigen das (2ℤ ∪ {1}, +, •) ein kommutativer Ring mit Einselelement und Nullteilerfreiheit ist.
zuerst muss ich ein mal zeigen das es überhaupt ein kommutativer Ring mit Einselelement ist.
zz ist also: (2ℤ ∪ {1}, +) eine abelsche Gruppe ist, was offensichtlich zutrifft. (Da (A),(N),(I) und (K) existieren bzw. gelten)
sowie das (2ℤ ∪ {1}, •) eine Halbgruppe ist (also die Assoziativität zutrifft - was der Fall ist) sowie das diese Halbgruppe kommutativ ist (trifft zu) und dass diese Gruppe ein Einselement hat, trifft durch die Inklusion der {1} in 2ℤ, ja ebenfalls zu.
Dann ist noch zu zeigen dass das Distributiv Gesetz gilt (Also das • stärker bindet als +) das folgt ebenfalls offensichtlich aus den Rechenoperationen.
Jetzt ist nur mehr zu zeigen das Nullteilerfreiheit herrscht und mir würde kein Element einfallen innerhalb dieser Menge, welches ein Nullteiler wäre.
Also hier meine Frage: Liege ich mit meiner Beweisführung richtig, dass es sich bei (2ℤ ∪ {1}, +, •) um einen Integritätsbereich handelt?
MFG,
