Logarithmusfunktion mit Exponentialfunktionszusammenhang lösen

Question

Aufgabe:

Hay,

ich soll das x Element von den reellen Zahlen bestimmen für das die Funktion existiert : 1/ln(x)+ln(1/x)= -1. Uns wurde auch die Lösung vorgegeben: x= exp((1+Wurzel(5))/2) und x= exp((1-Wurzel(5))/2).

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz war:

1/ln(x)+ln(1/x)= -1 , und da man ja weiß, dass ln(1/x)= -ln(x)

1/ln(x)-ln(x)= -1 , da wollte ich dann mal den ln(x) rechnen

1-ln^2(x)= -ln(x) , nun wollte ich mit einer p-q-Formel nach x auflösen, da die Lösung mir sehr danach aussieht, also +ln(x)

-ln^2(x)+ln(x)+1= 0 , demnach mal -1

ln^2(x)-ln(x)-1= 0 , daraus würde ich p= -1 und q= -1 ablesen, aber das führt mich nicht auf die Lösung

Answer 1

Aloha :)

Du bist auf dem richtigen Weg. Ich steige mal ganz am Ende ein:$$\ln^2(x)-\ln(x)-1=0$$Setze \(x=e^y\), dann ist:$$y^2-y-1=0\quad\Rightarrow\quad y_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$$

Das führt auf die beiden Lösungen:$$x_{1,2}=\exp\left(\frac{1\pm\sqrt5}{2}\right)$$

Comments

Danke, jetzt habe ich es verstanden :)