Wie Beweise ich mit vollständiger Induktion 3^n < (2n)! für n größer gleich 2?

Question

Aufgabe:

Beweisen sie mit vollständiger Induktion 3ⁿ < (2n)! für n >= 2

Problem/Ansatz:

IB: mit n = 2

3² < (2 *2 )!

9 < 24 (stimmt)

IH: sei n element aus den natürlichen Zahlen, b. a.f es gilt 3ⁿ < (2n)!

IS: n -> n+1

3ⁿ⁺¹ < (2(n+1))!

3ⁿ * 3< (2n)! * (2n+1) * (2n+2)

da laut I.H gilt 3ⁿ < (2n)!  

und 3 <   (2n+1) * (2n) für n >= 2 gilt

gilt 3n+1 < (2(n+1))!

Ist mein Gedankengang so richtig, oder ist irgendwo ein Fehler? Vielen Dank für die Hilfe :)

Answer 1

Wegen der vielen Abkürzungen und wenigen Erläuterungen in Textform ist es schwierig, deinem Gedankengang zu folgen. Du solltest immer klar formulieren, was jeweils zu zeigen ist und was du voraussetzen darfst. Im ersten Schritt beispielsweise: zu zeigen ist, dass ... Dies ist äquivalent zu ... Und da dies eine wahre Aussage ist, folgt ... Ähnlich im zweiten Schritt. Die eigentlichen Rechnungen sind richtig. 

Answer 2

Deine Gedankengänge sind richtig. Ich würde den Induktionsschluss vielleicht ein wenig schöner aufschreiben:

$$3^{n+1}=3^{n}\cdot3<(2n)!\cdot3<(2n)!\cdot3\cdot3<(2n)!\cdot(2n+1)\cdot(2n+2)=(2n+2)!=(2(n+1))!$$