Aloha :)
Zur Anwendung des Gauß'schen Satzes benötigst du die Divergenz des Vektorfeldes \(\vec F\):$$\vec \nabla\cdot\vec F=\left(\begin{array}{c}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}xy^2\\x^2y\\(1-z)(x^2+y^2)\end{array}\right)=y^2+x^2-(x^2+y^2)=0$$Das sieht zunächst so aus, wie deine Lösung. ABER: Der Gauß'sche Satz ist nur anwendbar, wenn die Oberfläche geschlossen ist. Der gegebenen Mantelfläche \(S\) fehlt daher noch ein Deckel$$D:=\left\{(x,y,0)\in\mathbb{R}^3\,|\,x^2+y^2\le2\right\}$$Damit gilt dann:$$\int\limits_{S\cup D}\vec F\,d\vec A=\int\limits_{S}\vec F\,d\vec A+\int\limits_{D}\vec F\,d\vec A=\int\limits_{K}\text{div}(\vec F)\,dV=0$$Weil die Divergenz von \(\vec F\) verschwindet, ist also der gesuchte Fluss \(\Phi\):$$\Phi=\int\limits_{S}\vec F\,d\vec A=-\int\limits_{D}\vec F\,d\vec A$$Wir brauchen also nicht über den Mantel \(S\) zu integrieren, sondern können über den Deckel \(D\) gehen. Dazu wählen wir Poloarkoordinaten:$$\vec r=\left(\begin{array}{c}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\0\end{array}\right)\;\;;\;\;r\in[0|2]\;\;;\;\;\varphi\in[0|2\pi]\;\;;\;\;d\vec A=\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)\,r\,dr\,d\varphi$$und rechnen wie folgt:
$$\Phi=-\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^2dr\left(\begin{array}{c}(r\cos\varphi)(r\sin\varphi)^2\\(r\cos\varphi)^2(r\sin\varphi)\\(1-0)((r\cos\varphi)^2+(r\sin\varphi)^2)\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}0\\0\\r\end{array}\right)$$$$\phantom{\Phi}=-\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^2dr\,r^3=-2\pi\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^2=-2\pi\,\frac{16}{4}=-8\pi$$
