Geschwindigkeit einer Kurve Berechnen

Question

Aufgabe:

Sei t ∈ [0 , 2π]. Berechnen Sie für die folgenden Kurven die Geschwindigkeit $$\dot{\vec{x}}(t)$$ und zeichnen Sie die Kurven.

$$ \text { a) } \quad \vec{x}(t)=\left(\begin{array}{l} {(\pi+t) \cos t} \\ {(\pi+t) \sin t} \end{array}\right)$$

$$\text { b) } \quad \vec{x}(t)=\left(\begin{array}{c} {\cos (2 t)} \\ {\sin (2 t)} \\ {t} \end{array}\right)$$

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht ganz wie ich das angehen soll. Muss ich einfach nur die Vektor ableiten ? Falls ja, wie genau mach ich das ? Wie man sowas zeichnet bin ich mir leider auch nicht sicher.

Comments

Hatte genau die gleiche Frage lol. Studierst du zufälligerweise an der Uni Tübingen im Wintersemester? Mathe für Naturwissenschaftler? hahaha

Answer 1

Aloha :)

Richtig, du sollst hier den Vektor nach der Zeit \(t\) ableiten. Das geschieht, indem man jede Komponente einzeln ableitet. Im ersten Fall benötigst du dafür die Produktregel

$$\dot{\vec x}=\frac{d}{dt}\binom{(\pi+t)\cos t}{(\pi+t)\sin t}=\binom{\cos t-(\pi+t)\sin t}{\sin t+(\pi+t)\cos t}$$

und im zweiten Fall hilft die Kettenregel

$$\dot{\vec x}=\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{c}\cos(2t)\\\sin(2t)\\t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\cos(2t)\\2\cos(2t)\\1\end{array}\right)$$

Comments

Ok vielen Dank, aber wie genau zeichne ich denn einen solchen Vektor ?

Mach ich einfach eine x(t) achse und eine t Achse und setze ein paar Werte zwischen 0 und 2*Pi für t ein und verbinde diese ? Oder muss ich oben und unten einzeln zeichnen ?

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Die Zeichnung hängt davon ab, wie ihr das im Unterricht besprochen habt. Du kannst z.B. die \(x\)-Achse und die \(y\)-Achse separat darstellen, also 2 Kurven in ein xy-Koordinatensystem eintragen.

Ich persönlich finde eine parametrische Darstellung übersichtlicher. Dabei werden zu die Punkte \((x,y)\) in Abhängigkeit von \(t\) in ein xy-Koordinatensystem eingetragen. Der Vektor geht dann immer vom Urpsrung zum Punkt auf der Kurve. Die Kurve beschreibt dann quasi die Spitze des Vektors.

Auf wolframalpha.com kannst du dir das recht gut darstellen lassen. Schau mal, welche Darstellung für dich besser geeignet ist, bzw. wie ihr das besprochen habt:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%28cos+t-%28%5Cpi%2Bt%29*sin+t%2C+sin+t%2B%28%5Cpi%2Bt%29*cos+t%29