Aloha :)
Die Länge der beiden Kurven können wir als Integrale ausdrücken:$$\ell_1=\int\limits_{x=0}^\pi\sqrt{1+\left[\left(\sin(x)\right)'\right]^2}\,dx\quad;\quad\ell_2=\int\limits_{x=0}^\pi\sqrt{1+\left[\left(\frac{1}{10}\sin(10x)\right)'\right]^2}\,dx$$oder wenn wir die Ableitungen ausrechnen:$$\ell_1=\int\limits_{x=0}^\pi\sqrt{1+\cos^2(x)}\,dx\quad;\quad\ell_2=\int\limits_{x=0}^\pi\sqrt{1+\cos^2(10x)}\,dx$$
Mit der Substituion:$$u\coloneqq 10x\quad;\quad\frac{du}{dx}=10\implies dx=\frac{du}{10}\quad;\quad u(0)=0\quad;\quad u(\pi)=10\pi$$wird das Integral für den zweiten Weg zu$$\ell_2=\frac{1}{10}\int\limits_{u=0}^{10\pi}\sqrt{1+\cos^2(u)}\,du=\frac{1}{10}\sum\limits_{n=0}^9\;\,\int\limits_{u=0}^{\pi}\sqrt{1+\cos^2(u+n\cdot\pi)}\,dx$$
Für gerade \(n\) gilt: \(\quad\!\quad \cos(u+n\cdot\pi)=\cos(u)\)
Für ungerade \(n\) gilt: \(\quad \cos(u+n\cdot\pi)=-\cos(u)\)
Daher gilt für alle \(n\):\(\;\quad\cos^2(u+n\cdot\pi)=\cos^2(u)\)
Für die Länge \(\ell_2\) bedeutet dies:$$\ell_2=\frac{1}{10}\sum\limits_{n=0}^9\;\,\int\limits_{u=0}^\pi\sqrt{1+\cos^2(u)}\,du=\frac{1}{10}\sum\limits_{n=0}^9\ell_1=\ell_1$$
Beide Käfer kommen gleichzeitig an, weil beide Kurven gleich lang sind.
