2 Kurven mit gleicher Geschwindigkeit ablaufen, welcher Weg ist schneller?

Question

Aufgabe:

Zwei Käfer krabbeln in einer Ebene mit gleicher konstanter Geschwindigkeit zu einem $\pi m$ entfernten Punkt. Der erste bewegt sich entlang der Kurve $y=\sin x$, der zweite entlang der Kurve $y=\frac{1}{10} \sin 10 x$ ( $x$ und $y$ in $m$ ). Welcher kommt zuerst am Punkt $(\pi, 0)$ an?

Hinweis: Die Weglängen können und müssen nicht ausgerechnet werden.

Problem/Ansatz:

Hey, wüsste da einer weiter? Komme da echt auf keinen Ansatz.. Würde mich über Hilfe freuen!

Comments

Erst einmal eine Zeichnung:

Answer 1

Aloha :)

Die Länge der beiden Kurven können wir als Integrale ausdrücken:$$\ell_1=\int\limits_{x=0}^\pi\sqrt{1+\left[\left(\sin(x)\right)'\right]^2}\,dx\quad;\quad\ell_2=\int\limits_{x=0}^\pi\sqrt{1+\left[\left(\frac{1}{10}\sin(10x)\right)'\right]^2}\,dx$$oder wenn wir die Ableitungen ausrechnen:$$\ell_1=\int\limits_{x=0}^\pi\sqrt{1+\cos^2(x)}\,dx\quad;\quad\ell_2=\int\limits_{x=0}^\pi\sqrt{1+\cos^2(10x)}\,dx$$

Mit der Substituion:$$u\coloneqq 10x\quad;\quad\frac{du}{dx}=10\implies dx=\frac{du}{10}\quad;\quad u(0)=0\quad;\quad u(\pi)=10\pi$$wird das Integral für den zweiten Weg zu$$\ell_2=\frac{1}{10}\int\limits_{u=0}^{10\pi}\sqrt{1+\cos^2(u)}\,du=\frac{1}{10}\sum\limits_{n=0}^9\;\,\int\limits_{u=0}^{\pi}\sqrt{1+\cos^2(u+n\cdot\pi)}\,dx$$

Für gerade $n$ gilt: $\quad\!\quad \cos(u+n\cdot\pi)=\cos(u)$

Für ungerade $n$ gilt: $\quad \cos(u+n\cdot\pi)=-\cos(u)$

Daher gilt für alle $n$:$\;\quad\cos^2(u+n\cdot\pi)=\cos^2(u)$

Für die Länge $\ell_2$ bedeutet dies:$$\ell_2=\frac{1}{10}\sum\limits_{n=0}^9\;\,\int\limits_{u=0}^\pi\sqrt{1+\cos^2(u)}\,du=\frac{1}{10}\sum\limits_{n=0}^9\ell_1=\ell_1$$

Beide Käfer kommen gleichzeitig an, weil beide Kurven gleich lang sind.

Comments

Vielen Dank!! Sowas ähnliches hatten wir auch schon in der Vorlesung gemacht, jetzt leuchtet‘s mir ein! :)

Answer 2

Ganz ohne Integralrechnung:

Die grau unterlegte Fläche und die schwarz unterlegte Fläche sind ähnlich mit dem Längenverhältnis 1:10. Dann ist der rote Bogen genau so lang, wie 10 blaue Bögen (obere Begrenzung der schwarzen Fläche).