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Zentrale sctunfliche Abiturprifung 2023
Aufgabe 3: Körper
Hicuscuts be
Die Abbildung zeigt den Körper ABCDEF mit \( \mathrm{A}(6|3| 0), \mathrm{B}(0|6| 0), \mathrm{C}(3|0| 0), \mathrm{D}(6|3| 6) \), \( E(0 / 6 / 6) \) und \( F(3 / 0 \mid 12) \).
a Die Punkte \( D, E \) und \( F \) liegen in der Ebene \( L \). Ermitteln Sie eine Gleichung won \( \mathrm{L} \) in Koordinatenform.
\( \text { (zur Kontrome: } 2 x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}-42=0 \text { ) } \)
b Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den L mit der \( x_{1} x_{2} \)-Ebene einschließt.
c Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC kann mit dem Term \( 6 \cdot 6-\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3-2 ; \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 \) berpchnet werden.
Veranschaulichen Sie dies? Tatsache durch geeignete Eintragungen in der Abbildung.
d Berechnen Sie das Volumen des Körpers ABCDEF.
e Die Gerade g geht durch die Punkte \( P_{1}(1|0| 0) \) und \( P_{2}(0|1| 0) \). Die Ebene \( N \) enthält die \( x_{3} \)-Achse und einen Punkt \( P \), der auf der Geraden \( g \) liegt. Der Punkt \( P \) soll so gewähit werden, dass die Ebene \( N \) mit allen vier Kanten \( \overline{B C}, \overline{E F}, \overline{A B}, \overline{D E} \) des Körpers ABCDEF jeweils einen gemeinsamen Punkt hat.
Ermitteln Sie alle Punkte auf der Geraden g, für die diese Bedingung erfüllt ist.
f Auf der Kante \( \overline{\mathrm{AD}} \) liegt der Punkt \( \mathrm{Q} \), auf der Kante \( \overline{\mathrm{BE}} \) der Punkt \( \mathrm{R}(0|6| 2) \). Das Dreieck FQR hat in \( Q \) einen rechten Winkel. Bestimmen Sie die \( x_{3} \)-Koordinate von \( \mathrm{Q} \).
g Der Körper wird so um die Strecke \( \overline{\mathrm{AB}} \) gedreht, dass die Punkte E und D nach der Drehung in der \( x_{1} x_{2} \)-Ebene liegen und dabei eine positive \( x_{2} \)-Koordinate haben. Durch die Drehung wird der Punkt \( C \) auf den Punkt \( C^{*} \) abgebildet. Die Koordinaten des Punktes \( \mathrm{C}^{\star} \) sollen bestimmt werden.
Beschreiben Sie einen Lösungsweg zur Bestimmung der Koordinaten von \( C^{\star} \).
BE
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Mathematik
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Leistungskurs
23_Ma_LK_3G
Aufgabe:
