Bestimme m(t) und überprüfe ob die Funktion alle Bedingungen für ein begrenztes Wachstum erfüllt.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

1 Begrenztes Wachstum Teil 1
1.1 Schmerztabletten
In einen Behälter mit Wasser wird Salicylamidpulver geschüttet und unter Rühren gelöst. Die SalicylamidWasser-Lösung ist ab einer Menge von \( 29 \mathrm{~g} \) Salicylamid pro \( 100 \mathrm{ml} \) Lösung gesättigt. Bei der Durchführung konnten die folgenden Lösungszeiten aufgenommen werden:
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline\( t[\min ] \) & \( m[\mathrm{~g}] \) \\
\hline \hline 0 & 0 \\
\hline 2 & \( 3.3 \) \\
\hline 5 & \( 7.4 \) \\
\hline 16 & \( 17.7 \) \\
\hline 31 & \( 24.3 \) \\
\hline
\end{tabular}
Die Masse \( m(t) \) des zur Zeit \( t \) bereits gelösten Pulvers pro \( 100 \mathrm{ml} \) Lösung soll durch ein begrenztes Wachstum beschrieben werden:
\( m(t)=S-c \cdot e^{-k t} \)
a) Stelle zunächst einen allgemeinen Ausdruck auf um den Wachstumsfaktor \( \mathrm{k} \) zu bestimmen und bestimme diesen anschließend. Hinweis: Betrachte \( m(t)-S \).
b) Stelle einen allgemeinen Ausdruck auf um \( c \) zu bestimmen.
c) Bestimme \( m(t) \) und überprüfe ob die Funktion alle Bedingungen für ein begrenztes Wachstum erfüllt.
d) Skizziere den Graphen von \( m(t) \).
e) Wann sind \( 80 \% \) Sättigung erreicht?
f) Mit welcher Geschwindigkeit erhöht sich die gelöste Masse zur Zeit \( t=15 \).

Problem/Ansatz:

… kann jemand mir bei dieser Aufgabe helfen

Answer 1

Ich weiß nicht ganz genau, wie sich die Lehrkraft das unter a) verstellt. Natürlich könnte man erstmal eine Spalte dazufügen, in die man m(t) - S einträgt. Allerdings müsste man zur Berechnung von k dann ja noch einen Quotienten bilden, damit das -c wegfällt.

Ich würde also als Erstes über t = 0 das c bestimmen.

Als Zweites würde ich dann aus t = 31 das k bestimmen.

Damit stelle ich dann die Funktion auf

m(t) = 29 - 29·exp(- 0.05870107487·t)

Wenn ihr die Aufgabe besprecht schau mal wie der Lehrer das genau mit a) und b) meint. Das erscheint mir viel aufwändiger als mein Weg.