Ungleichung zeigen bzw. "erweitern"

Question

Aufgabe:

Für eine Aufgabe habe ich folgendes als Hilfestellung gegeben:
$$(\sum \limits_{i=1}^{n}a_ib_i)^2  \leq (\sum \limits_{i=1}^{n}a_i^2) * (\sum \limits_{i=1}^{n}b_i^2)$$

$$\text{gilt für jedes } n \in \mathbb{N} \text{ für Zahlenfolgen } a_i,...,a_n \text{ und } b_i,...,b_n$$

Problem/Ansatz:

Ich könnte dies nutzen um meine eigentliche Aufgabe zu lösen, in dem ich jedem Summanden mit einem passenden c_i multipliziere. (Die benötigte Folge habe ich dafür.) Wie zeige ich nun, dass die ungleichung weiterhin gilt? Ich bin mir recht sicher, dass sie es tut, da ich dann auf beiden Seiten c_i²  erhalte.

Reicht es, dies textlich aufzuschreiben oder die Summen zu zerlegen um es deutlicher zu machen, oder wie gehe ich hierbei vor?

Comments

Schreib dir die rechte Seite mal für n = 2 auf und multipliziere die beiden Summen aus. Im Vergleich zur linken Seite hast du zwei Summanden mehr. Da nur Quadrate vorkommen, sind diese nicht negativ. Für größere n sind es noch mehr Summanden, das musst du nur vernünftig (formal) aufschreiben.

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Also wenn ich mich gerade auf die schnelle keinen Fehler gemacht habe würde ich für n=2

(a₁b₁c₁)²+ 2a₁a₂b₁b₂c₁c₂+(a₂b₂c₂)²  <= (a₁b₁c₁)²+2(a₁b₂)²c₁c₂+(a₂b₂c₂)²

^{erhalten, wenn ich mit c erweitere und ohne zu erweitern würde man das c einfach weglassen, also:
(a₁b₁)2+ 2a₁a₂b₁b₂+(a₂b₂)2  <= (a₁b₁)2+2(a₁b₂)2+(a₂b₂)2}

^{(Vergessen zu erwähnen habe ich noch, dass c}_i ^{>= 0 ist.)}

Dass es weiterhin gilt, ist mir klar. Ich multipliziere ja jeweils mit den gleichen Werten c_i

_{Wie ich jetzt allerdings das ganze formal Beweise, dass weiß ich nicht.} 

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Ich glaube, das habe ich mir gestern nachmittag nur oberflächlich angeschaut. Das mit dem einfachen Weglassen stimmt so jedenfalls nicht. Denn das Quadrat auf der linken Seite wird von der Summe gebildet und nicht von den Produkten. Die Klammersetzung ist hier wichtig. Werde mir das noch mal in Ruhe anschauen, aber nicht mehr heute Nacht.

Answer 1

Wenn man zwei Summen mit je n≥2 Summanden ausmultipliziert, ergeben sich insgesamt n² Summanden. Wenn die beiden Summen gleich sind, ergeben sich genau n "einzelne" Summanden, die anderen n² - n kommen in Paaren vor, die man zusammenfassen kann. So ist z.B. $$ (x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2xz+2yz $$ Für n = 1 wird die zu zeigende Ungleichung offensichtlich zu einer Gleichung. Für n≥2 kann man die linke Seite nach dem gerade genannten Prinzip umformen zu $$ \sum \limits_{i=1}^{n}a_{i}^{2}b_{i}^{2}+\sum \limits_{i<j}^{}2a_{i}b_{i}a_{j}b_{j} $$ Nun kann man jeden Summanden der zweiten Summe abschätzen nach dem Prinzip

2xy ≤ x² + y². Dies ist immer richtig wegen 0  ≤ (x + y)² = x² - 2xy + y².

Angewandt auf die vorhandene Summe (a_ib_j statt x und a_jb_i statt y): $$ ...\leq \sum \limits_{i=0}^{n}a_{i}^{2}b_{i}^{2} + \sum \limits_{i<j}^{}a_{i}^{2}b_{j}^{2}+a_{j}^{2}b_{i}^{2} $$ Dieser Term enthält genau alle n² Produkte der Form a_i²b_j², die sich beim Ausmultiplizieren der rechten Seite der Behauptung ergeben.

Answer 2

Aloha :)

$$\left(\sum \limits_{i=1}^{n}a_i^2\right)\cdot\left(\sum \limits_{i=1}^{n}b_i^2\right)\stackrel{(1)}{=}\left(\sum \limits_{i=1}^{n}a_i^2\right)\cdot\left(\sum \limits_{k=1}^{n}b_k^2\right)\stackrel{(2)}{=}\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{k=1}^na_i^2b_k^2$$$$\stackrel{(3)}{\ge}\sum\limits_{i=1}^na_i^2b_i^2=\sum\limits_{i=1}^n(a_ib_i)^2$$

(1) Da zuerst beide Summen unabhängig voneinander addiert werden, bevor die Multiplikation erfolgt, können wir den Laufindex der zweiten Summe auch in \(k\) umbenennen.

(2) Nun greift das allgemeine Distributivgesetz, wonach wir beim Ausmultiplizieren der Klammern jeden Summand der ersten Klammer mit jedem Summand der zweiten Klammer multiplizieren müssen.

(3) Bei der Summation über \(k\) wählen wir nun nur denjenigen Summanden aus, für den \(k=i\) gilt, lassen also \(n-1\) Summanden weg. Daher das \(\ge\)-Zeichen. (Eches "größer als" gilt hier nicht, denn wenn \(n=1\) ist, wird kein Summand der \(k\)-Summe weggelassen.)

Comments

Du hast eine Ungleichung bewiesen, und zwar die Ungleichung mit Klammern um die a_ib_i und nicht um die Summe. Hatte ich auch in meinem ersten Kommentar so angenommen.