Das Maß der Fläche für f berechnen

Question

Text erkannt:

Berechnen Sie für die Funktion \( f \) das Maß der gekennzeichneten Fliche.
a) \( f(x)=2 \mathrm{e}^{-x}-1 \)
b) \( f(x)=e^{\frac{1}{2} x-1}+1 \)
Berechnen Sie das Maß der gekennzeichneten Fläche.

Answer 1

Hallo

was daran kannst du denn nicht?
beim ersten musst du für die untere Grenze des Intervalls erst mal die Nullstelle der Funktion bestimmen die obere Grenze ist 3 und am Ende nimmst du den Betrag, e^-x integriert ergibt -e^-x,

bei der zweiten sieht man die Ober Grenze nicht.  e^1/2x-1 integriert ergibt 2*e^1/2x-1

also wenn du Hilfe brauchst immer sagen, was du nicht kannst.
Gruß lul

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Wie man die untere grenze bestimmt war mir unklar, vielen dank!

Answer 2

Hallo,,

meine Berechnung:

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Wie kommt man von ln(1/2) auf ln(1) - ln(2) ?

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das ist ein Logarithmensetz::

ln(a/b)= ln(a) -ln(b)

Answer 3

Aloha :)

a) Das Integral geht von der Nullstelle von \(f(x)=2e^{-x}-1\) bis \(3\). Wir brauchen also zunächst die Nullstelle:$$2e^{-x}-1=0\;\;\Leftrightarrow\;\;2e^{-x}=1\;\;\Leftrightarrow\;\;e^{-x}=\frac{1}{2}\;\;\Leftrightarrow\;\;e^x=2\;\;\Leftrightarrow\;\;x=\ln(2)$$Die gesuchte Fläche ist daher:

$$F_a=\left|\;\,\int\limits_{\ln(2)}^3\left(2e^{-x}-1\right)\,dx\right|=\left|\left[-2e^{-x}-x\right]_{\ln(2)}^3\right|$$$$\phantom{F_a}=\left|(-2e^{-3}-3)-(-2e^{-\ln(2)}-\ln(2))\right|$$$$\phantom{F_a}=\left|-\frac{2}{e^3}-3+1+\ln(2)\right|=2-\ln(2)+\frac{2}{e^3}\approx1,406427$$

b) Hier sind die Grenzen gut ablesbar zu \([0|2]\):$$F_b=\left|\;\,\int\limits_0^2\left(2e^{\frac{x}{2}-1}+1\right)\,dx\right|=\left|\left[4e^{\frac{x}{2}-1}+x\right]_0^2\right|=\left|4e^0+2-4e^{-1}\right|$$$$\phantom{F_b}=6-\frac{4}{e}\approx4,5284822$$

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Vielen dank erstmal, ich versteh leider überhaupt nicht wie man auf die ergebnisse in der letzten zeile kommt, woher kommt link die 1 und das ln(2) wo ist das e von rechts hin?