Monotonie der Verteilungsfunktion

Question

wie kann ich folgende Äquivalenz zeigen. Stehe gerade enorm auf dem Schlauch:

Sei \(X\) eine reelle Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion \(F(t) =\mathbb{P}(X≤t)\).

Zeige:\( F\) ist genau dann streng monoton steigend, wenn \(\mathbb{P}(X \in I)>0\) für jedes offene  Intervall \(I⊆\mathbb{R}\).

Comments

streng monoton steigend

Verteilungsfunktionen sind immer monoton steigend? Darfst du das benutzen?

Kennst du eine Verteilungsfunktion, die nicht "streng monoton steigend" ist? Beschreibe ihren Graphen.

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Ja das darf ich benutzen.

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Kennst du eine Verteilungsfunktion, die nicht "streng monoton steigend" ist? Beschreibe ihren Graphen.

Answer 1

Hi,

sei \( F \) streng monoton steigend. Für die Wahrscheinlichkeit eines offenen Intervalls \( I = (a, b) \) gilt \( P(I) = F(b) - F(a) > 0 \) wegen \( F(b) > F(a) \), der strengen Monotonie von \( F \).

Sei umgekehrt \( F \) nicht streng monoton steigend, es sei also \( F(b) \leq F(a) \) für \( a < b \) (sprich solch \( a \) und \( b \) sei existent). Für das offene Intervall \( I = (a, b) \) ist dann \( P(I) = F(b) - F(a) \leq 0 \).



Mister