Vektoren R^3 , Abhängigkeit vom Parameter

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die folgenden Vektoren aus \( \mathbb{R}^{3} \):

$$ v_{1}=\left(\begin{array}{c} {2} \\ {-1} \\ {3} \end{array}\right), \quad v_{2}=\left(\begin{array}{l} {3} \\ {0} \\ {2} \end{array}\right) \quad \text { und } \quad v_{3}=\left(\begin{array}{l} {1} \\ {a} \\ {14} \end{array}\right) $$

a) Bestimmen Sie in Abhängigkeit vom Parameter \( a \in \mathbb{R} \) eine Basis von \( U=\operatorname{lin}\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \) und geben Sie die Dimension von \( U \) an. Was stellt \( U \) geometrisch dar?

Answer 1

Für a=-8 sind die drei lin. abhängig, aber die ersten beiden nicht.

Also bilden die ersten beiden eine Basis , quasi ist dann die

lineare Hülle eine Ebene durch den Nullpunkt.

Ansonsten sind sie lin. unabh. bilden also zusammen eine

Basis von R^3, geometrisch der ganze Raum.

Comments

Wie kommst du auf die -8?

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Setzt die drei Vektoren in eine Matrix

und bestimmsederen Determinante 5a + 40 .

Und wenn die 0 ist, also a=-8 sind sie lin. abh.