Im Standardraum \( (\mathbb{F_5})^5 \) betrachten wir den \( \mathbb{F_5} ( = \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}) \)-Unterraum
\( U_1 = ⟨ \begin{pmatrix} 1\\2\\1\\0\\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\2\\3\\4\\0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} -1\\-1\\0\\1\\1 \end{pmatrix} ⟩ \)
Bestimmen Sie Dimension und eine Basis von U_{1}.
Ich wollte jetzt erstmal schauen, ob die drei Vektoren lin. unabhängig sind, dann wären Sie als linear unabhängiges Erzeugendensystem eine Basis und dann hätte ich ja auch schon die Dimension. Ich bin mir aber nicht sicher wie ich die lin. Unabhängigkeit berechne.
\( x\cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\1\\0\\2 \end{pmatrix} + y\cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\3\\4\\0 \end{pmatrix} + z \cdot \begin{pmatrix} -1\\-1\\0\\1\\1 \end{pmatrix} = 0 \)
x + y - z = 0
2x + 2y - z = 0
\( \Longleftrightarrow \) x + 3y = 0
4y + z = 0
2x + z = 0
Muss ich hier beim Lösen des LGS schon wie in Z/5Z rechnen, oder kann ich das später umrechnen und erstmal "ganz normal" Rechnen? Wäre das LGS nicht sonst sehr aufwendig?
