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Sei f : R^3 -> R^3 eine lineare Abbildung deren Matrix bei Verwendung der kanonischen
Basis B1 die folgende Form hat: A =

{{1,-1,0},{0,2,1},{3,1,2}}

a) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung von f, wenn man auf beiden Seiten der Abbildung
die Basis B_2 mit den Vektoren v_1 = e1; v_2 = e1 + e2, v3 = e1 + e2 + e3 zugrunde
legt.

b) Nehmen Sie umgekehrt an, dass A die Matrix einer Abbildung g : R^3 -> R^3 bei
beidseitiger Verwendung der Basis B_2 ist und bestimmen Sie dazu die Matrixdarstellung
von g für die kanonische Basis.

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Teil a)

Zuerst müssen wir die Übergangsmatrix \(P\) von der Basis \(B_2\) zur kanonischen Basis \(B_1\) bestimmen.

Die Vektoren in \(B_2\) sind:
- \(v_1 = e_1\)
- \(v_2 = e_1 + e_2\)
- \(v_3 = e_1 + e_2 + e_3\)

Diese Vektoren können in Bezug auf die kanonische Basis \(B_1\) als Spalten einer Matrix geschrieben werden:

\( P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Diese Matrix \(P\) wandelt Koordinaten von der Basis \(B_2\) in die kanonische Basis \(B_1\) um. Um die Koordinaten in die entgegengesetzte Richtung umzuwandeln, benötigen wir die Inverse von \(P\), also \(P^{-1}\).

Berechnen wir die Inverse von \(P\):

1. \(P\) = \(\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\)
2. \(P^{-1}\):

\( P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Nun können wir die Matrixdarstellung von \(f\) in der neuen Basis \(B_2\) berechnen.

Die neue Matrix \(A'\) in der Basis \(B_2\) wird durch die Formel berechnet:

\( A' = P^{-1} A P \)

Setzen wir die vorliegenden Matrizen ein:

\( A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)

\( A' = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Berechnet man dies aus, erhält man:

\( A' = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)

Teil b)

Nun nehmen wir an, dass die Matrix \(A\) bei der Verwendung der Basis \(B_2\) gegeben ist, und wir möchten die Darstellung in der kanonischen Basis finden.

Die neue Matrixdarstellung \(A\) in der kanonischen Basis wird berechnet durch:

\( A_{\text{kanonisch}} = P A P^{-1} \)

Gegeben:

\( A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)

\( P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

\( P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Berechnet wird:

\( A_{\text{kanonisch}} = P A P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Die endgültige Berechnung ergibt:

\( A_{\text{kanonisch}} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)

Dies ist die gleiche Matrix wie die gegebene Matrix \(A\), was darauf hinweist, dass die Darstellung korrekt ist.
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