Antwort mit KI erzeugt
Teil a)
Zuerst müssen wir die Übergangsmatrix \(P\) von der Basis \(B_2\) zur kanonischen Basis \(B_1\) bestimmen.
Die Vektoren in \(B_2\) sind:
- \(v_1 = e_1\)
- \(v_2 = e_1 + e_2\)
- \(v_3 = e_1 + e_2 + e_3\)
Diese Vektoren können in Bezug auf die kanonische Basis \(B_1\) als Spalten einer Matrix geschrieben werden:
\(
P = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\)
Diese Matrix \(P\) wandelt Koordinaten von der Basis \(B_2\) in die kanonische Basis \(B_1\) um. Um die Koordinaten in die entgegengesetzte Richtung umzuwandeln, benötigen wir die Inverse von \(P\), also \(P^{-1}\).
Berechnen wir die Inverse von \(P\):
1. \(P\) = \(\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\)
2. \(P^{-1}\):
\(
P^{-1} = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\)
Nun können wir die Matrixdarstellung von \(f\) in der neuen Basis \(B_2\) berechnen.
Die neue Matrix \(A'\) in der Basis \(B_2\) wird durch die Formel berechnet:
\(
A' = P^{-1} A P
\)
Setzen wir die vorliegenden Matrizen ein:
\(
A = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
3 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\)
\(
A' = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
3 & 1 & 2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\)
Berechnet man dies aus, erhält man:
\(
A' = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
3 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\)
Teil b)
Nun nehmen wir an, dass die Matrix \(A\) bei der Verwendung der Basis \(B_2\) gegeben ist, und wir möchten die Darstellung in der kanonischen Basis finden.
Die neue Matrixdarstellung \(A\) in der kanonischen Basis wird berechnet durch:
\(
A_{\text{kanonisch}} = P A P^{-1}
\)
Gegeben:
\(
A = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
3 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\)
\(
P = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\)
\(
P^{-1} = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\)
Berechnet wird:
\(
A_{\text{kanonisch}} = P A P^{-1} = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
3 & 1 & 2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\)
Die endgültige Berechnung ergibt:
\(
A_{\text{kanonisch}} = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
3 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\)
Dies ist die gleiche Matrix wie die gegebene Matrix \(A\), was darauf hinweist, dass die Darstellung korrekt ist.
