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Es sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und f:V->V eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft f°f=f

Man zeige:
Ist V endlich erzeugt, so gibt es eine Basis B von V mit der Eigenschaft, dass für jeden Vektor b∈B entweder f(b)=b oder f(b)=0 gilt.


Weiß zufällig jemand, wie das geht?

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Bestimme eine Basis von Kern(f) und ergänze sie zu einer Basis von V.

Für jedes Element b im Kern gilt f(b)=0 .

Die weiteren Basisvektoren seinen v1, v2, ,..., vn .

Die bilden also eine Basis des Bildes.

Dann gilt für jedes i    (fof)(vi) = f(vi)

                <=>  f(f(vi)) = f(vi)

Da von den vi keines im Kern von f liegt, bilden die

f(v1) , f(v2) , ….. , f(vn) auch eine Basis des Bildes und

diese und die Basis des Kerns bilden die gesuchte Basis.

Avatar von 289 k 🚀

Aber ich verstehe  nicht so ganz woher man weiß, dass die f(vi) linear unabhängig sind. Müsste dafür nicht f injektiv sein?

Die Einschränkung von f auf die vi ist meines Erachtens Injektiv, da

ja vorher alles was im Kern ist schon abgehandelt wurde.

Ahh; ach so, danke! :)

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