Idempotente Funktion, Vektorraum

Question

Es sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und f:V->V eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft f°f=f

Man zeige:
Ist V endlich erzeugt, so gibt es eine Basis B von V mit der Eigenschaft, dass für jeden Vektor b∈B entweder f(b)=b oder f(b)=0 gilt.

Weiß zufällig jemand, wie das geht?

Answer 1

Bestimme eine Basis von Kern(f) und ergänze sie zu einer Basis von V.

Für jedes Element b im Kern gilt f(b)=0 .

Die weiteren Basisvektoren seinen v1, v2, ,..., vn .

Die bilden also eine Basis des Bildes.

Dann gilt für jedes i    (fof)(vi) = f(vi)

                <=>  f(f(vi)) = f(vi)

Da von den vi keines im Kern von f liegt, bilden die

f(v1) , f(v2) , ….. , f(vn) auch eine Basis des Bildes und

diese und die Basis des Kerns bilden die gesuchte Basis.

Comments

Aber ich verstehe  nicht so ganz woher man weiß, dass die f(vi) linear unabhängig sind. Müsste dafür nicht f injektiv sein?

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Die Einschränkung von f auf die vi ist meines Erachtens Injektiv, da

ja vorher alles was im Kern ist schon abgehandelt wurde.

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Ahh; ach so, danke! :)