Beweis zu Surjektivität gesucht

Question

Aufgabe:

$$ f:\mathbb{R^3}\rightarrow \mathbb{R^2},(x,y,z)\rightarrow (x+y,y+z) $$

Problem/Ansatz:

$$ \text{ Seien (a,b,c)}\in\mathbb{R^3} \text{beliebig.} $$

$$ \text{Zu zeigen: Für alle (a,b,c)}\in\mathbb{R^3} \text{existiert  (x,y,z)}\in\mathbb{R^2}:f(x,y,z)=(a,b,c) $$

Wie würde ich denn jetzt zeigen, dass Surjektiv gilt?

Meine Gedankengang:

a= x+y -> x=-y+a

b= y+z -> z=-y+b

c=(x+y) v (y+z) -> ?

Damit ich später die form habe:

a=a , b=b ,c=c  ?

Oder gibt es eine andere einfachere Möglichkeit es zu beweisen?

Vielen Dank im Vorraus

Comments

Nicht \(f(x,y,z)=(a,b,c)\) ist zu zeigen.

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Die Elemente des Bildraums haben nur zwei Koordinaten, also die Form (a,b). Hierzu musst du geeignete x,y und z finden. Da es viele Möglichkeiten gibt (was wiederum bedeutet, dass die Abbildung nicht injektiv ist), kannst du dir das Leben leicht machen und beispielsweise z = 0 wählen.

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Ok, ich Versuchs mal und stelle es gleich hier rein

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Ignoriere einfach mal das, was in den Klammern steht. Die Abbildung ist surjektiv, dazu musst du zeigen, dass es zu jedem Element der Zielmenge mindestens ein Urbild gibt. Du warst da auf dem richtigen Weg, hast aber drei statt zwei Stellen für die Bildelemente angenommen.

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Wäre das so richtig?

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Bis zu der Zeile mit "zu zeigen" ist es schon mal gut. Danach "Folglich" passt nicht, und es wird  nicht klar, wieso du auf einmal z = 0 da schreibst, und außerdem hast du es überhaupt nicht benutzt. Und wenn du x, y und z angibst, dann dürfen die nur von a und b abhängen. Nach der "zu zeigen"-Zeile solltest du anfangen: Sei (a,b) aus ℝ² beliebig, setze dann x = ... und y = ... und z=0, dann gilt f(x,y,z) = ... = (a,b). Jetzt müsstest du nur noch die Lücken bei ... füllen, so dass es passt. Wenn es zu abstrakt ist, denk dir ein Beispiel aus: Finde ein Urbild zu (3,4). Also: Finde drei Zahlen, so dass die Summe der ersten beiden genau 3 und die der letzten beiden genau 4 ist. Da gibt es unendlich viele Möglichkeiten. Durch die Wahl z = 0 nur noch eine. Und das Prinzip musst du nur abstrahieren.

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Stimmt, da macht der Zusammenhang direkt mehr Sinn. Vielen Dank!