Beweise, dass die Folge konvergiert

Question

Moin Leute,

Meine Aufgabe ist es den Grenzwert zu bestimmen. Ich habe zwei Varianten, die eine Variante habe ich mit Hilfe gelöst bekommen. Aber ich verstehe leider diese Variante nicht bzw. ich finde keinen Audruck dafür. Könnt ihr mir bitte weiterhelfen ?

!!unter dem Bruchstrich steht die n+1 diesen Ausdruck hab ich ja noch hinbekomen aber den oberen also im Zählerteil finde ich keinen Audruck:/

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Obwohl ich habe jetzt das hier:

8/3 * 15/4* 24/5*....* (n+2)*n /(n+1) richtig?

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verbessere mich nochmal . ....*(n+2)*n /(n+1)^2 , würde das so stimmen ?

Answer 1

Berechne die Produkte

\( \frac{8}{3} \)                                                                               =\( \frac{8}{3} \)

\( \frac{8}{3} \) ·\( \frac{15}{4} \)                                                                        = 10

\( \frac{8}{3} \) ·\( \frac{15}{4} \) ·\( \frac{24}{5} \)                                                                 = 48

\( \frac{8}{3} \) ·\( \frac{15}{4} \) ·\( \frac{24}{5} \) ·\( \frac{35}{6} \)                                                          =280

\( \frac{8}{3} \) ·\( \frac{15}{4} \) ·\( \frac{24}{5} \) ·\( \frac{35}{6} \)·\( \frac{48}{7} \)                                                    =1920

dann siehst du, dass die Folge nicht konvergiert.

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Ich habe eine andere Aufgabe reingeschickt, sryyy :/

Die Aufgabe lautet so \( \prod_{k=2}^{n}{1-\frac{1}{k^2}} \)

So dann habe ich das umgeschrieben in \( \prod_{k=2}^{n}{\frac{k^2-1}{k^2}} \)  also auf gleiche Nenner gebracht. Dann habe ich die zahlen erst eingesetzt, denke man kann das auch so machen oder?

Aber die Lösung der ersten Variante zeigt, dass das konvergiert gegen \( \frac{1}{2} \).