Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis

Question

(2) Wir betrachten \( V:=\mathbb{R}^{4} \) mit dem Standardskalarprodukt \( \langle x, y\rangle= y^{T} x . \) Es seien
$$ U:=lin \left(u^{(1)}, u^{(2)}, u^{(3)}\right) \quad \text { mit } \quad u^{(1)}=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \\ {-1} \\ {2} \end{array}\right), \quad u^{(2)}=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {-1} \\ {1} \\ {2} \end{array}\right), \quad u^{(3)}=\left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {1} \\ {4} \end{array}\right) $$

(Die Vektoren \( u^{(1)}, u^{(2)} \) und \( u^{(3)} \) bilden eine Basis von \( U \). Dies braucht nicht gezeigt werden.)

Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis \( \mathcal{B}=\left(b^{(1)}, b^{(2)}, b^{(3)}\right) \) von \( U \) mit dem Gram-Schmidt Verfahren, also so, dass zusätzlich auch \( \operatorname{lin}\left(b^{(1)}, \ldots, b^{(i)}\right)=\operatorname{lin}\left(u^{(1)}, \ldots, u^{(i)}\right) \) für alle \( i=1, \ldots, 3 \) gilt.

Answer 1

Dann mal ein Hinweis zu Gram-Schmitt

Text erkannt (test) :

\( \rightarrow \mathbf{e} \mathbf{1}:=\{\mathbf{1}, \mathbf{1},-\mathbf{1}, \mathbf{2}\} \)
\( o1:=\mathrm{e} 1 / c b etrag(\mathrm{e} 1) \)
\( \rightarrow \) o1 \( :=\left\{\frac{1}{\sqrt{7}}, \frac{1}{\sqrt{7}},-\frac{1}{\sqrt{7}}, \frac{2}{\sqrt{7}}\right\} \)

\( \rightarrow \mathbf{e} 2:=\{\mathbf{1},-\mathbf{1}, \mathbf{1}, \mathbf{2}\} \)
\( \mathrm{c} 2:=\mathrm{e} 2-\mathrm{cdot} (\mathrm{e} 2,o1)^{\mathrm{x}} \mathrm{o} 1 \)
\( \rightarrow \quad \mathrm{c} 2:=\left\{\frac{4}{7},-\frac{10}{7}, \frac{10}{7}, \frac{8}{7}\right\} \)
\( o2:=c 2 / c b etrag(c 2) \)
\( \rightarrow \)  \( o2:=\left\{\frac{1}{35} \sqrt{70},-\frac{1}{14} \sqrt{70}, \frac{1}{14} \sqrt{70}, \frac{2}{35} \sqrt{70}\right\} \)

\( \rightarrow \mathbf{e} 3:=\{2, \mathbf{1}, \mathbf{1}, \mathbf{4}\} \)
\( \mathrm{c} 3:=\mathrm{e} 3-\mathrm{cdot}(\mathrm{e} 3, \mathrm{o} 2) \mathrm{o} 2-\mathrm{cdot}(\mathrm{e} 3, \mathrm{o} 1) \mathrm{o} 1 \)
\( \rightarrow \mathbf{c} 3:=\{\mathbf{0}, \mathbf{1}, \mathbf{1}, \mathbf{0}\} \)
\(o 3:= \) Simplify \( (c 3 / cbetrag (\mathrm{c} 3)) \)
\( \rightarrow \mathbf{o} \mathbf{3}:=\left\{\mathbf{0}, \frac{\mathbf{1}}{\sqrt{2}}, \frac{\mathbf{1}}{\sqrt{2}}, \mathbf{0}\right\} \)

\( \{\operatorname{cdot}(o1,o2), \operatorname{cdot} (o1,o3), \operatorname{cdot} (o2,o3)\} \)
\( \rightarrow\{\mathbf{0}, \mathbf{0}, \mathbf{0}\} \)

Answer 2

Ic

Ich habe es mal durchgerechnet. Ich hoffe , es passt.