Lineare Abbildungen & Potenzen von Matrizen

Question

\[\begin{array}{l}{\text { Wir betrachten die Matrix }} \\{\qquad A=\left(\begin{array}{cc}{\frac{1}{2} \sqrt{2}} & {-\frac{1}{2} \sqrt{2}} \\{\frac{1}{2} \sqrt{2}} & {\frac{1}{2} \sqrt{2}}\end{array}\right)}\end{array}\]sowie die zugehörige lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} ; \) also \( A \) sei die Darstellungsmatrix von \( f \)

a) Was ist die geometrische Bedeutung von f? ( Reicht es einfach kurz in Worten zu beschreiben)

b) \( \quad \) (i) Folgern Sie aus a \( \mathrm{a} \) ): Was ist die geometrische Bedeutung der linearen Abbildungen, die die Darstellungsmatrix \( A^{2} \) bzw. \( A^{4} \) bzw. \( A^{8} \) bzw. \( A^{9} \) hat? (eben auch kurz mit Worten beschreiben)

(ii) Folgern Sie aus \( (i), \) wie die Matrizen \( A^{8} \) und \( A^{9} \) lauten müssen.

c) Nun berechnen Sie (d.h. Matrix-Multiplikation) erst. \( A^{2}, \) daraus dann \( A^{4}, \) daraus \( \operatorname{dann} A^{8} \) und schließlich \( A^{12} \)

d) Berechnen Sie nun \( \sum \limits_{k=0}^{11} A^{k} \) (Bei d) ist es sinnvoll Ergebnisse aus diversen Teilaufgaben zu benutzen)

Answer 1

Aloha :)

zu a)

Um die Bedeutung der Matrix$$A=\left(\begin{array}{r}\frac{\sqrt2}{2} & -\frac{\sqrt2}{2}\\\frac{\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt2}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}\cos(45^o) & -\sin(45^o)\\\sin(45^o) & \cos(45^o)\end{array}\right)$$zu verstehen, schauen wir uns an, was sie aus den Standard-Basisvektoren macht:

$$A\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}\cos(45^o) & -\sin(45^o)\\\sin(45^o) & \cos(45^o)\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\cos(45^o)\\\sin(45^o)\end{array}\right)$$$$A\cdot\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}\cos(45^o) & -\sin(45^o)\\\sin(45^o) & \cos(45^o)\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\cos(45^o)\\\sin(45^o)\end{array}\right)$$Die Matrix \(A\) führt also eine Links-Drehung um \(45^o\) um den Koordinatenursprung durch.

zu b)

i) \(A^2\) dreht einen Vektor um \(90^o\) nach links um den Ursprung. \(A^4\) dreht einen Vektor um \(180^o\), was auch einer Spiegelung am Ursprung entspricht. \(A^8\) dreht um \(360^o\), macht also im Endeffekt nichts. \(A^9=A^8\cdot A\) macht dasselbe wie \(A\), also Linksdrehung um \(45^o\).

ii) \(A^8=\left(\begin{array}{r}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right)\quad;\quad A^9=A\)

zu c)

$$A^2=\left(\begin{array}{r}0& -1\\1 & 0\end{array}\right)\quad;\quad A^4=\left(\begin{array}{r}-1& 0\\0 & -1\end{array}\right)\quad;\quad A^8=A\quad;\quad A^{12}=A^4$$

zu d)

$$\sum\limits_{k=0}^{11}A^k=(A^0+A^1+A^2+A^3)+(A^4+A^5+A^6+A^7)$$$$\phantom{\sum\limits_{k=0}^{11}A^k}+(A^8+A^9+A^{10}+A^{11})$$$$\phantom{\sum\limits_{k=0}^{11}A^k}=E(A^0+A^1+A^2+A^3)+A^4(A^0+A^1+A^2+A^3)$$$$\phantom{\sum\limits_{k=0}^{11}A^k}+A^8(A^0+A^1+A^2+A^3)$$$$\phantom{\sum\limits_{k=0}^{11}A^k}=(E+\underbrace{A^4+A^8}_{=0})\cdot(A^0+A^1+A^2+A^3)=\underbrace{A^0}_{=E}+A^1+A^2+A^3$$$$\phantom{\sum\limits_{k=0}^{11}A^k}=E+A^1+A^2(E+A^1)=E(E+A^1)+A^2(E+A^1)$$$$\phantom{\sum\limits_{k=0}^{11}A^k}=(E+A^2)(E+A)$$$$\phantom{\sum\limits_{k=0}^{11}A^k}=\left(\begin{array}{r}1 & -1\\1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}1+\frac{\sqrt2}{2} & -\frac{\sqrt2}{2}\\\frac{\sqrt2}{2} & 1+\frac{\sqrt2}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & -1-\sqrt2\\1+\sqrt2 & 1\end{array}\right)$$