Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die kleinste gezogene Nummer k ist? (k = 1,...,10)

Question

Guten Tag liebe Mathelounge Community,

ich bin neu hier in diesem Forum und versuche mich zurzeit auf meine Stochastikprüfung vorzubereiten und hänge leider sehr lange an einer Aufgabe.

Aufgabe:

Eine Urne enthält 10 Kugeln mit den Nummern 1,...,10. Es wird 4 mal gezogen ohne Zurücklegen.

Modelliere dieses Experiment durch einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum und beantworte folgende Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die kleinste gezogene Nummer k ist? (k = 1,...,10)

Problem/Ansatz:

Hierbei müsste es sich um eine hypergeometrische Verteilung handeln und Omega habe ich wie folgt definiert:

Ω = {1,...,10}⁴ (weil man 4 mal ziehen kann). P{ω} = 10!/4!(10-4)! (Ich bin mir leider hierbei auch nicht sicher, ob dies stimmt, falls ich mich hier auch geirrt habe, bin ich für Korrekturen sehr dankbar!).

Wo ich leider gar nicht weiter weiß ist, wie man die Wahrscheinlichkeit von k, der kleinsten gezogenen Nummer, ausrechnet.

Mein Ansatz hierzu wäre, dass man die Formel für die hypergeometrische Verteilung nimmt:

\( P(X=k)=\frac{\left(\begin{array}{l}{M} \\ {k}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{N-M} \\ {n-k}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{l}{N} \\ {n}\end{array}\right)} \)

Quelle: https://matheguru.com/stochastik/hypergeometrische-verteilung.html

Wobei N=10 wäre und n=4, aber weiter komme ich leider nicht.

Ich hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann und bedanke mich schonmal im Voraus.

Mit freundlichen Grüßen

Answer 1

Ω = {1,...,10}⁴.

Kann man machen. Muss man aber nicht.

Nachteil von diesem Ω ist, dass es sich nicht um ein Laplace-Experiment handelt. Zum Beispiel ist P((1,1,1,1)) = 0, weil ohne Zurücklegen gezogen wird, aber P((1,2,3,4)) ≠ 0.

Ich favorisiere eher

        Ω = ℘₄({1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}),

also die Menge der vierelementigen Teilmengen von {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Dann ist

        P(M) = \(\frac{1}{10\choose 4}\)

für jedes M ∈ Ω.

dass die kleinste gezogene Nummer k ist?

Wähle aus der Menge {k+1, k+2, ..., 10} drei Elemente aus: \({10-k}\choose {3}\) Möglichkeiten.

Füge das Element k hinzu: immer noch \({10-k}\choose {3}\) Möglichkeiten.

Comments

Ich danke Ihnen vielmals! Das hat mein Problem gelöst!

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Gerne! War aber natürlich falsch. Habe ich deshalb mal korrigiert.