$$f(t) = a \cdot ( t - 4.1 ) \cdot e^{ct} + 0.25 $$
$$f'(t)=a e^{c t} (1 - 4.1 c + c t)$$
$$H(6.32/1.67)$$
$$f(6.32) = 1.67 =2.22a \cdot e^{6.32c} + 0.25 $$
$$f'(6.32)=0=a e^{6.32c} (1 +2.22c) \Rightarrow 1+2.22c=0 \Rightarrow c=-\frac{50}{111}$$
(\(a e^{6.32c}\) kann nicht Null sein, deshalb muss der Klammerausdruck Null sein.)
c in f(6.32) einsetzen:
$$f(6.32) = 1.67 =2.22a \cdot e^{-6.32\cdot50/111} + 0.25 \Rightarrow a\approx 11.0231$$
$$f(t) \approx 11.0231 \cdot ( t - 4.1 ) \cdot e^{-0.45t} + 0.25 $$
https://www.desmos.com/calculator/zgniiy7nyb
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Herleitung der Ableitungsfunktion:
\(f(t)=a⋅(t−4.1)⋅e^{ct}+0.25\)
Beim Ableiten fällt der konstante Summand 0.25 weg, während der konstante Faktor a erhalten bleibt.
Also müssen wir nur angucken, wie \((t−4.1)⋅e^{ct}\) abgeleitet wird. Dazu nehmen wir die Produktregel \((u\cdot v)'=u'v+uv'\).
\(u=(t−4.1)~~~;~~~v=e^{ct}\)
\(u'=1~~~~;~~~~v'=c\cdot e^{ct}\)
Nun alles zusammenbasteln:
\(f'(t)=a\cdot(1\cdot e^{ct}+(t-4.1)\cdot c \cdot e^{ct})\)
\(f'(t)=a\cdot e^{ct}(1 +(t-4.1)\cdot c)\)
\(f'(t)=a\cdot e^{ct}(1 -4.1\cdot c +ct)\)
