Stellen von waagerechten Tangenten bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle Stellen an welchen die Funktion f(x) = sin(\( \frac{1}{x} \) ) im Intervall (0,1)

eine waagerechte Tangente hat.

Problem/Ansatz:

Also wenn ich mich recht entsinne, dann sollte ich die entsprechenden Punkte sich über das gleichsetzen von 0 und der ersten Ableitung finden lassen.

Die erste Ableitung ist \( \frac{-cos(\frac{1}{x})}{x^{2}} \)

Bei f'(x) = 0 kommt als Wert \( \frac{2}{π} \) raus.

Ist das der einzige Punkt oder habe ich etwas übersehen? Ist der Ansatz/Punkt überhaupt richtig und ist damit die Aufgabe schon beendet?

Answer 1

cos(x) = 0 ⇔ ∃n∈ℤ: x = π/2 + nπ

cos(1/x) = 0 ⇔ ∃n∈ℤ: 1/x = π/2 + nπ ⇔ ∃n∈ℤ: x = 2 / (2πn+π)

2 / (2πn+π) ∈ (0,1) ⇔ 2πn+π > 2 ⇔ n > (2-π)/(2π)

(n > (2-π)/(2π) ∧ n ∈ ℤ) ⇔ n ∈ ℕ₀.

Die Stellen, an denen f im Intervall (0, 1) eine horizontale Tangente hat sind also die in der Menge

        {2 / (2πn+π) | n ∈ ℕ₀}

Comments

Gesucht sind nur Lösungen im Intervall (0,1).

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Und nur solche habe ich angegeben.

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Sorry, du hast Recht. Ich hab nicht an den Bruch gedacht. :)

Answer 2

Korrekt. Es geht nur um das Intervall (0,1)

Answer 3

die sin Funktion hat eine waagerechte Tangente bei z.B.
y = pi/2 bzw. y = 3/2 * pi

1/x = pi/2
x = 2 / pi = 0.6366

1/x = 3/2 * pi
x = 2 / ( 3 * pi ) = 0.2122

wahrscheinlich gibt es unendlich viele x-Werte
die zutreffen

Hier heiißt es das Bildungsgesetz aufzustellen.

Bin gern weiter behilflich.

Comments

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