Wahrscheinlichkeit dass Bleistift einwandfrei ist

Question

Aufgabe:

Bei einem Billiganbieter sind von 1000 Druckbleistiften 100 defekt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie nur einwandfreie Stifte bekommen, wenn Sie rein zufällig 10 Stifte auswählen?

Problem/Ansatz:

Ich habe mir das jetzt mal so hergeleitet:

\( \prod_{i=0}^{10}{\frac{900-i}{1000-i}} \)

Die Wahrscheinlichkeit einen einwandfreien Stift von 1000 Stiften zu finden ist 900/1000. Wenn ich einen Stift entnommen habe wiederhole ich dasselbe mit 999 Stiften usw.

Ich denke dass das so geht allerdings frage ich mich ob es dafür eine Formel bzw. einen einfachen, offiziellen Weg gibt?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Aloha :)

Von den 900 guten Bleistiften sollen 10 ausgewählt werden, dafür gibt es \(\binom{900}{10}\) Möglichkeiten. Von den 100 schlechten Bleistiften sollen 0 ausgewählt werden, dafür gibt es \(\binom{100}{0}\) Möglichkeiten (nämlich die leere Menge). insgesamt werden von 1000 Bleistiften 10 ausgewählt, dafür gibt es \(\binom{1000}{10}\) Möglichkeiten.$$p=\frac{\binom{900}{10}\binom{100}{0}}{\binom{1000}{10}}=34,69\%$$Stichwort ist "Hypergeometrische Verteilung", fallst du dich weiter informieren möchtest.

Answer 2

Deine obere Grenze geht nur bis 9, du entnimmst ja nur 10 Stifte, nicht 11.

Als "offiziellen" Weg würde ich die hypergeometrische Verteilung benutzen.

Da allerdings die Anzahl der einwandfreien Stifte gleich der auszuwählenden Stifte ist, kommst du hier auf den Spezialfall

P = nCr(900;10) / nCr(1000; 10).