Wann ist f(x) = 1/x^2 differenzierbar bei 1

Question

Wir betrachten die Funktion     f: (0,∞) → ℝ mit  f(x) = 1/x² .

a) Wann ist f differenzierbar bei 1? Geben Sie die Definition an.

b) Überprüfen Sie anhand der Definition, dass f bei 1 differenzierbar ist, und bestimmen Sie eine Gleichung für die Tangente an den Graphen im Punkt (1,1).

Answer 1

f(x) = 1/x^2

Tangente an der Stelle s = 1

f(s) = 1
f'(s) = - 2/x^3 = -2

t(x) = f'(s) * (x - s) + f(s) = -2 * (x - 1) + 1 = 3 - 2·x

Schaffst du eure Definition selber abzuschreiben und zu prüfen?

Comments

Wir sollen doch die Ableitung mit der h Methode machen, da komm ich nicht weiter...

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lim h→0

f'(x) = (f(x+h) - f(x)) / h

f'(x) = (1/(x + h)^2 - 1/x^2) / h

f'(x) = (x^2/(x^2·(x + h)^2) - (x + h)^2/(x^2·(x + h)^2)) / h

f'(x) = ((x^2 - (x + h)^2)/(x^2·(x + h)^2)) / h

f'(x) = ((- 2·h·x - h^2)/(x^2·(x + h)^2)) / h

f'(x) = (- 2·x - h)/(x^2·(x + h)^2)

f'(x) = - 2·x/(x^2·x^2)

f'(x) = - 2/x^3