Bestimmen Sie den Höhenschnittpunkt des Dreiecks ABC im R^3, das von folgenden Punktenaufgespannt wird:

Question

Bestimmen Sie den Höhenschnittpunkt des Dreiecks \( A B C \) im \( \mathbb{R}^{3}, \) das von folgenden Punkten aufgespannt wird:
$$ A=\left(\begin{array}{l} {3} \\ {4} \\ {1} \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{c} {0} \\ {1} \\ {-1} \end{array}\right), \quad C=\left(\begin{array}{c} {-2} \\ {3} \\ {0} \end{array}\right) $$

Answer 1

A = [3, 4, 1]
B = [0, 1, -1]
C = [-2, 3, 0]

Richtungsvektoren der Seiten

AB = [-3, -3, -2]
AC = [-5, -1, -1]
BC = [-2, 2, 1]

Höhenfußpunkt

FAB = [3, 4, 1] + [-3, -3, -2]·[-5, -1, -1]/([-3, -3, -2]·[-3, -3, -2])·[-3, -3, -2] = [3/11, 14/11, -9/11]

FAC = [3, 4, 1] + [-3, -3, -2]·[-5, -1, -1]/([-5, -1, -1]·[-5, -1, -1])·[-5, -1, -1] = [-19/27, 88/27, 7/27]

Schnittpunkt der Höhen

[-2, 3, 0] + r·([3/11, 14/11, - 9/11] - [-2, 3, 0]) = [0, 1, -1] + s·([- 19/27, 88/27, 7/27] - [0, 1, -1]) --> r = 77/97 ∧ s = 27/97

S = [-2, 3, 0] + 77/97·([3/11, 14/11, - 9/11] - [-2, 3, 0]) = [-19/97, 158/97, -63/97] = [-0.1959, 1.6289, -0.6495]

Comments

wie lautet die Formel für Höhenfußpunkt? Diese haben wir nicht gehabt in der VL?

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die Division von vektor mit vektor existiert nicht. wie kommst du bei FAB auf ein Ergebnis?

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Rechne das was ich oben gerechnet habe mal mit allgemeinen Buchstaben durch. Dann erhältst du eine Formel.

Vermutlich habt ihr keine Formel gelernt weil die zu Aufwendig ist und erwartet wird, dass ihr es von Hand ausrechnen könnt.

Wenn du nur in eine Formel einsetzt lernst du ja nicht allgemein wie man an Probleme rangehen kann.

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FAB = [3, 4, 1] + [-3, -3, -2]·[-5, -1, -1]/([-3, -3, -2]·[-3, -3, -2])·[-3, -3, -2] = [3/11, 14/11, -9/11]

Wie kommst du da auf ein Ergebnis?

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die Division von vektor mit vektor existiert nicht. wie kommst du bei FAB auf ein Ergebnis?

Im Nenner steht ein Skalarprodukt, welches eine reelle Zahl ergibt. Man darf durch eine reelle Zahl teilen. Hier wird nicht durch einen Vektor geteilt.