Aloha :)
a) Nullstellen:
$$F(x)=\sin(x)+\cos(2x)$$Die Nullstellen sind in dieser Form schwer zu erkennen, daher setzen wir \(x=y+\frac{\pi}{2}\) ein und erhalten:$$f(y)=\sin\left(y+\frac{\pi}{2}\right)+\cos\left(2y+\pi\right)=\cos(y)-\cos(2y)\stackrel{!}{=}0$$Wegen \(\cos(0)=1\) kriegen wir die Nullstelle bei \(y=0\) sofort geschenkt. Zur Bestimmung weiterer Nullstellen nutzen wir die Achsensymmetrie \(\cos(y)=\cos(-y)\) und die Periode \(2\pi\) der Cosinus-Funktion aus:$$\cos(y)=\cos(-y)=\cos(-y\pm 2\pi)\stackrel{!}{=}\cos(2y)$$$$\Rightarrow\quad2y=-y\pm2\pi\quad\Rightarrow\quad y=\pm\frac{2}{3}\pi$$Wir haben also 3 Nullstellen im Hauptintervall \([-\pi|\pi]\) gefunden, nämlich bei \(y=0\) und bei \(y=\pm\frac{2}{3}\pi\). Mittels \(x=y+\frac{\pi}{2}\) und unter Berücksichtigung der \(2\pi\)-Periode erhalten wir folgende Nullstellen von \(F(x)\):$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi\cdot\mathbb{Z}\quad;\quad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi\cdot\mathbb{Z}\quad;\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi\cdot\mathbb{Z}$$Beim letzten Term kommt eigentlich \(x=\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{7\pi}{6}\) heraus. Das ist aber \(>\pi\) und liegt damit außerhalb des Hauptintervalls \([-\pi|\pi]\), daher habe ich \(2\pi\) subtrahiert. Das ändert wegen der \(2\pi\)-Periode die Menge aller Nullstellen nicht.
b) Extremstellen:
Wir suchen nun die möglichen Kandidaten für Extremstellen, also die Nullstellen der Ableitung$$F'(x)=\cos(x)-2\sin(2x)=\cos(x)-4\sin(x)\cos(x)=\cos(x)\left(1-4\sin(x)\right)$$Dabei wurde das Additionstheorem \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\) verwendet. Nun brauchen wir nur die einzelnen Faktoren gleich \(0\) zu setzen:
$$1)\quad\cos(x)=0\quad\Rightarrow\quad x=\pm\frac{\pi}{2}$$$$2)\quad\sin(x)=\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad x=\arcsin\left(\frac{1}{4}\right)\;;\;x=\pi-\arcsin\left(\frac{1}{4}\right)$$Unter Berücksichtigung der \(2\pi\)-Periode haben wir folgende Extremwert-Kandidaten:$$x=\frac{\pi}{2}+\pi\cdot\mathbb{Z}\quad;\quad x=\arcsin\left(\frac{1}{4}\right)+2\pi\cdot\mathbb{Z}\quad;\quad x=\pi-\arcsin\left(\frac{1}{4}\right)+2\pi\cdot\mathbb{Z}$$Zur Bestätigung, dass es sich bei diesen Kandidaten um Extremwerte handelt und zur Angabe des Typs (Maximum oder Minimum), musst du das nun noch in die 2-te Ableitung einsetzen. Den Spaß daran möchte ich dir allerdings nicht nehmen... ;)))
~plot~ sin(x)+cos(2x) ; [[-8|8|-2.5|1.5]] ~plot~
