f(x)=sin(x)+cos(2x) hilfe

Question

Aufgabe

F(x)=sin(x)+cos(2x)
Problem/Ansatz:

Ich muss für diese Funktion eine ganze Kurvendiskussion machen. Ich komme aber leider bei den Nullstellen und den Extrempunkten nicht weiter. Ich hoffe ihr könnt mir weiter helfen.

Definitionsbereich:

D=IR

Periode:

0<x<2

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Wie wäre denn dein Ansatz für die Ableitung?

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f’(x)=cos(x)+2cos(2x)

f“(x)=-sin(x)+4sin(2x)

f‘‘‘(x)=-cos(x)+8cos(2x)

Das sind die Ableitungen

Answer 1

Aloha :)

a) Nullstellen:

$$F(x)=\sin(x)+\cos(2x)$$Die Nullstellen sind in dieser Form schwer zu erkennen, daher setzen wir $x=y+\frac{\pi}{2}$ ein und erhalten:$$f(y)=\sin\left(y+\frac{\pi}{2}\right)+\cos\left(2y+\pi\right)=\cos(y)-\cos(2y)\stackrel{!}{=}0$$Wegen $\cos(0)=1$ kriegen wir die Nullstelle bei $y=0$ sofort geschenkt. Zur Bestimmung weiterer Nullstellen nutzen wir die Achsensymmetrie $\cos(y)=\cos(-y)$ und die Periode $2\pi$ der Cosinus-Funktion aus:$$\cos(y)=\cos(-y)=\cos(-y\pm 2\pi)\stackrel{!}{=}\cos(2y)$$$$\Rightarrow\quad2y=-y\pm2\pi\quad\Rightarrow\quad y=\pm\frac{2}{3}\pi$$Wir haben also 3 Nullstellen im Hauptintervall $[-\pi|\pi]$ gefunden, nämlich bei $y=0$ und bei $y=\pm\frac{2}{3}\pi$. Mittels $x=y+\frac{\pi}{2}$ und unter Berücksichtigung der $2\pi$-Periode erhalten wir folgende Nullstellen von $F(x)$:$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi\cdot\mathbb{Z}\quad;\quad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi\cdot\mathbb{Z}\quad;\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi\cdot\mathbb{Z}$$Beim letzten Term kommt eigentlich $x=\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{7\pi}{6}$ heraus. Das ist aber $>\pi$ und liegt damit außerhalb des Hauptintervalls $[-\pi|\pi]$, daher habe ich $2\pi$ subtrahiert. Das ändert wegen der $2\pi$-Periode die Menge aller Nullstellen nicht.

b) Extremstellen:

Wir suchen nun die möglichen Kandidaten für Extremstellen, also die Nullstellen der Ableitung$$F'(x)=\cos(x)-2\sin(2x)=\cos(x)-4\sin(x)\cos(x)=\cos(x)\left(1-4\sin(x)\right)$$Dabei wurde das Additionstheorem $\sin(2x)=2\sin x\cos x$ verwendet. Nun brauchen wir nur die einzelnen Faktoren gleich $0$ zu setzen:

$$1)\quad\cos(x)=0\quad\Rightarrow\quad x=\pm\frac{\pi}{2}$$$$2)\quad\sin(x)=\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad x=\arcsin\left(\frac{1}{4}\right)\;;\;x=\pi-\arcsin\left(\frac{1}{4}\right)$$Unter Berücksichtigung der $2\pi$-Periode haben wir folgende Extremwert-Kandidaten:$$x=\frac{\pi}{2}+\pi\cdot\mathbb{Z}\quad;\quad x=\arcsin\left(\frac{1}{4}\right)+2\pi\cdot\mathbb{Z}\quad;\quad x=\pi-\arcsin\left(\frac{1}{4}\right)+2\pi\cdot\mathbb{Z}$$Zur Bestätigung, dass es sich bei diesen Kandidaten um Extremwerte handelt und zur Angabe des Typs (Maximum oder Minimum), musst du das nun noch in die 2-te Ableitung einsetzen. Den Spaß daran möchte ich dir allerdings nicht nehmen... ;)))

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f₁(x) = sin(x)+cos(2x)Zoom: x(-8…8) y(-2,5…1,5)

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Vielen vielen Dank für deine Hilfe.

Kannst du mir vielleicht noch bitte die Wendestellen berechnen?

Answer 2

Hallo, ich gebe dir Ansätze.

Die Funktion hat keine Nullstellen.

Ableitungen:

f'(x)= cos(x)−2sin(2x)

f''(x)= −4cos(2x)−sin(x)

f'''(x)= 8sin(2x)−cos(x)

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Warum keine Nullstellen?

Answer 3

Zunächst mal darfst du die Funktion umschreiben zu

f(x) = SIN(x) + COS(2·x) = -2·SIN(x)² + SIN(x) + 1

Nutze dazu z.B. die Additionstheoreme

Dann kommst du sicher weiter oder?

Comments

Leider komme ich überhaupt nicht weiter und die Additionstheoreme verstehe ich nicht.

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Theoretisch musst du sie nicht mal verstehen. Du kannst sie Zunächst einfach nur wie eine Vokabel benutzen.

Siehe auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie

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Und eigentlich bin ich mir fast sicher das du von

f(x) = -2·SIN(x)² + SIN(x) + 1

die Nullstellen bestimmen kannst. Als Tipp sei dir die Substitution als Herz gelegt.