Wie sieht die Darstellungsmatrix bei Matrizen als Zielmenge aus?

Question

Aufgabe:

Sei M der Vektorraum der 2x2-Matrizen über ℝ. Die Standardmatrizen des 2x2-Raums sind gegeben:

E11=\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) E12=\( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) etc.

Es gibt die Abbildung fA : M → M mit X ↦ AX (Matrizenmultiplikation).

Sei weiter B=\( \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} \)

Bestimme die Darstellungsmatrix von fB bezüglich der Standardmatrizen.

Problem/Ansatz:

Wenn ich die Matrixmultiplikation durchführe, erhalte ich 4 unterschiedliche 2x2 Matrizen. Bei Vektoren schreibt man in die Darstellungsmatrix einfach die erhaltenen Vektoren rein, aber hier geht das nicht, da die Darstellungsmatrix die Dimension 2x2 haben muss. Was muss ich nun mit den berechneten Matrizen machen? :)

Answer 1

Aloha :)

$$\left(\begin{array}{c}3 & 4\\5 & 6\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3 & 0\\5 & 0\end{array}\right)$$$$\phantom{\left(\begin{array}{c}3 & 4\\5 & 6\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right)}=3\left(\begin{array}{c}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right)+0\left(\begin{array}{c}0 & 1\\0 & 0\end{array}\right)+5\left(\begin{array}{c}0 & 0\\1 & 0\end{array}\right)+0\left(\begin{array}{c}0 & 0\\0 & 1\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}3 & 4\\5 & 6\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0 & 1\\0 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0 & 3\\0 & 5\end{array}\right)$$$$\phantom{\left(\begin{array}{c}3 & 4\\5 & 6\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right)}=0\left(\begin{array}{c}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right)+3\left(\begin{array}{c}0 & 1\\0 & 0\end{array}\right)+0\left(\begin{array}{c}0 & 0\\1 & 0\end{array}\right)+5\left(\begin{array}{c}0 & 0\\0 & 1\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}3 & 4\\5 & 6\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0 & 0\\1 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4 & 0\\6 & 0\end{array}\right)$$$$\phantom{\left(\begin{array}{c}3 & 4\\5 & 6\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right)}=4\left(\begin{array}{c}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right)+0\left(\begin{array}{c}0 & 1\\0 & 0\end{array}\right)+6\left(\begin{array}{c}0 & 0\\1 & 0\end{array}\right)+0\left(\begin{array}{c}0 & 0\\0 & 1\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}3 & 4\\5 & 6\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0 & 0\\0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0 & 4\\0 & 6\end{array}\right)$$$$\phantom{\left(\begin{array}{c}3 & 4\\5 & 6\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right)}=0\left(\begin{array}{c}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right)+4\left(\begin{array}{c}0 & 1\\0 & 0\end{array}\right)+0\left(\begin{array}{c}0 & 0\\1 & 0\end{array}\right)+6\left(\begin{array}{c}0 & 0\\0 & 1\end{array}\right)$$

$$B_E=\left(\begin{array}{c}3 & 0 & 4 & 0\\0 & 3 & 0 & 4\\5 & 0 & 6 & 0\\0 & 5 & 0 & 6\end{array}\right)$$

Answer 2

Dimension von M ist 4, weil Basis von M ist

\(\left\{ \begin{pmatrix} 1&0\\0&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&1\\0&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&0\\1&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&0\\0&1 \end{pmatrix} \right\}\).

Also ist die Darstellungmatrix eine 4×4-Matrizen.

Bei Vektoren schreibt man in die Darstellungsmatrix einfach die erhaltenen Vektoren rein,

Man schreibt die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren. Das scheinen oft "einfach die erhaltenen Vektoren" zu sein weil die Vektoren des betrachteten Vektorraums als Spaltenvektoren geschrieben werden und die Standardbasis verwendet wird.