Wie lauten die Extrema der Funktionsschar fa(x)=e^(2x) -ax^(x) für a größer als 0

Question

Ich habe ein wenig durch Subsitution gerechnet indem ich e^x mit z gleichgesetzt habe und resubstituiert habe, aber ich habe als x einmal 0 und loge((a/2*1/2)+(a/2*1/2)) raus was mir wirklich sehr falsch erscheint

Kann mir jemand seinen Weg vorrechnen damit ich evtl sehe wie man das machen muss in diesem spezifischen beispiel?

Answer 1

Schreibe x^x als \(e^{x\cdot ln(x)}\).

Leite dann deine Funktion ab.

Comments

Ich kann dir nicht ganz folgen

---

Es gilt \( e^{ln(x)}=x \). Damit ist   \(x^x= (e^{ln(x)})^x=e^{x\cdot ln(x)} \).

---

das ist gerade irgendwie zu viel für mich

---

Was? Dass man x als Potenz von e schreiben kann?

Oder dass man Potenzen potenziert, indem man die Exponenten multipliziert?

---

Kannst du dein Ansatz bitte auf die Ableitung anwenden und ein wenig vorrechnen, damit ich dir so besser folgen kann...

---

Du hast geschrieben, dass es um e^(2x) -ax^(x) geht.

Ich habe dir den Hinweis gegeben, dass du x^x anders schreiben musst.

Die Funktion hat damit die Form

\(f_a(x)=e^{2x}-a\cdot e^{x\cdot ln(x)}\).

JETZT leite sie ab!

Leite e-Funktionen ab, wie man e-Funktionen ableitet. Ist der Exponent wieder eine Funktion, musst du die Kettenregel anwenden.

Die innere Ableitung des Exponenten 2x wirst du wohl hinbekommen.

Die innere Ableitung des zweiten Exponenten ist etwas aufwändiger, weil der zweite Exponent ein Produkt aus x und ln(x) ist. Hier brauchst du also für die innere Ableitung die Produktregel.

---

Ich habe einen fatalen Fehler gemacht! Es tut mir LEID! es soll fa(x)=e^(2x)-ae^(x) hin und nicht x^x !!!!

---

Dann solltest du die Ableitung erst recht hinbekommen.

Answer 2

fa ( x ) = e^(2x) -ae^(x)
Allgemein Ableitung e Funktion

(e ^term ) ´ = e ^term * ( term ´ )

Außerdem Summandenweise Ableitung

fa ´( x ) = e^(2x) * 2 - a * e^(x) * 1
fa ´( x ) = 2 * e^(2x)  - a * e^(x)