Zerlegung der Zwischenpunkte, zeige folgende Aussagen:

Question

Aufgabe:

Sei f: [0,1] -> R, x-> e^x, n ∈ N, Zn = (0, 1/2^n,2/2^n,...,2n-1/2^n,1) eine Zerlegung und α^n = (1/2^n,2/2^n,...,2n-1/2^n,1) Zwischenpunkte. Zeige die folgenden Aussagen.

1. ZS(f,Zn,α^n) = (e-1) * e^y * 1/e^y-1/y für y= 1/2^n

2. lim y->0 e^y-^/y = 1

3. Berechne Integral (0,1) e^x dx mit Hilfe der Zwischensumme aus Aufgabenteil 1

Problem/Ansatz:

Die zweite habe ich bereits gelöst. Nur leider komm ich mit meinen Büchern, dem Skript und dem Internet bei der 1 und 3 nicht weiter. Hoffe um Hilfe :c

Comments

Hallo

 1. kannst du das bitte leserlicher machen?

2 was bedeutet bei euch ZS(f,Zn,αn)

fehlen in 1 Klammern?

lul

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Ich habe es genauso abgeschrieben, wie es in der Aufgabe steht. ZS steht für Zwischensumme, glaube ich und nein es fehlen keine Klammern.

Text erkannt:

Aufgabe 55: Sei \( f:[0,1] \rightarrow R, x \longmapsto e^{x}, n \in \mathbb{N}, Z_{n}=\left(0, \frac{1}{2^{n}}, \frac{2}{2^{n}}, \ldots, \frac{2^{n-1}}{2^{n}}, 1\right) \) eine Zerle-
gung und \( \alpha^{n}=\left(\frac{1}{2 n}, \frac{2}{2 n}, \ldots, \frac{2 n-1}{2 n}, 1\right) \) Zwischenpunkte. Zeige die folgenden Aussagen.
(1) \( \mathrm{ZS}\left(\mathrm{f}, \mathrm{Z}_{\mathrm{n}}, \alpha^{\mathrm{n}}\right)=(\mathrm{e}-1) \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{y}} \cdot \frac{\frac{1}{\mathrm{y}}}{\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{y}}} \) für \( \mathrm{y}=\frac{1}{2^{\mathrm{n}}} \)
(2) \( \lim \limits_{y \rightarrow 0} \frac{e^{y}-1}{y}=1 \)
(3) Berechne \( \int \limits_{0}^{1} e^{x} d x \) mit Hilfe der Zwischensumme aus Aufgabenteil (1).

Answer 1

Ich hab es mal versucht auszurechnen:

In der letzten Zeile in der Berechnung der summe ist ein kleiner Fehler. Es muss unter dem Bruchstrich 1/2^n heißen.