Aloha :)
$$f(x)=x^4e^x$$$$f'(x)=\left(\underbrace{x^4}_{u}\underbrace{e^x}_{v}\right)'=\underbrace{4x^3}_{u\,'}\underbrace{e^x}_{v}+\underbrace{x^4}_{u}\underbrace{e^x}_{v\,'}$$Wenn du \(f'(x)\) ableitest, musst du beide Summanden ableiten, du hast nur den ersten abgelitten.$$f''(x)=\left(4x^3e^x+x^4e^x\right)'=\left(\underbrace{4x^3}_{u}\underbrace{e^x}_{v}\right)'+\left(\underbrace{x^4}_{g}\underbrace{e^x}_{h}\right)'$$$$\phantom{f''(x)}=\left(\underbrace{12x^2}_{u\,'}\underbrace{e^x}_{v}+\underbrace{4x^3}_{u}\underbrace{e^x}_{v\,'}\right)+\left(\underbrace{4x^3}_{g\,'}\underbrace{e^x}_{h}+\underbrace{x^4}_{g}\underbrace{e^x}_{h\,'}\right)$$$$\phantom{f''(x)}=e^x\left(12x^2+4x^3+4x^3+x^4\right)=e^x\left(12x^2+8x^3+x^4\right)$$$$\phantom{f''(x)}=e^xx^2\left(x^2+8x+12\right)=e^xx^2(x+2)(x+6)$$Beim letzten Schritt habe ich zum Lösen der quadratischen Gleichung den Satz von Vieta benutzt. Dazu habe ich zwei Zahlen gesucht, deren Summe \(8\) ist und deren Produkt \(12\) ist: \(2+6=8\) und \(2\cdot6=12\). Damit folgt dann: \((x^2+8x+12)=(x+2)(x+6)\).
Mögliche Kandidaten für Wendepunkte sind also: \(x=-6\;;\;x=-2\;;\;x=0\)