Was stimmt an meiner Rechnung nicht

Question

ich muss die wendestelle von f(x)=x^4*e^x ausrechnen. Verstehe aber nicht was ich falsch gerechnet habe.

\( f(x)=x^{4} \cdot e^{x} \)
\( \begin{array}{rl}{u(x)=x^{4}} & {v(x)=e^{x}} \\ {u^{\prime}(x)=4 x^{3}} & {v^{\prime}(x)=e^{x}} \\ {f^{\prime}(x)=4 x^{3} \cdot e^{x}+x^4 \cdot e^{x}} & {=e^{x}\left(4 x^{3}+x^{4}\right)} \\  {f^{\prime \prime}(x)=12 x^{2} \cdot e^{x}+4x^{3} \cdot e^{x}} & {=e^{x}\left(12 x^{2}+4 x^{3}\right)} \\ {e^{x}\left(12 x^{2}+4 x^{3}\right)} & {=0} \\ {12 x^{2}+4 x^{3}} & {=0}\end{array} \)

Comments

Die zweite Ableitung muss auch mit der Produktregel berechnet werden, und zwar am besten mit dem letzten ausgeklammerten Term bei f ' .

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=x^4e^x$$$$f'(x)=\left(\underbrace{x^4}_{u}\underbrace{e^x}_{v}\right)'=\underbrace{4x^3}_{u\,'}\underbrace{e^x}_{v}+\underbrace{x^4}_{u}\underbrace{e^x}_{v\,'}$$Wenn du \(f'(x)\) ableitest, musst du beide Summanden ableiten, du hast nur den ersten abgelitten.$$f''(x)=\left(4x^3e^x+x^4e^x\right)'=\left(\underbrace{4x^3}_{u}\underbrace{e^x}_{v}\right)'+\left(\underbrace{x^4}_{g}\underbrace{e^x}_{h}\right)'$$$$\phantom{f''(x)}=\left(\underbrace{12x^2}_{u\,'}\underbrace{e^x}_{v}+\underbrace{4x^3}_{u}\underbrace{e^x}_{v\,'}\right)+\left(\underbrace{4x^3}_{g\,'}\underbrace{e^x}_{h}+\underbrace{x^4}_{g}\underbrace{e^x}_{h\,'}\right)$$$$\phantom{f''(x)}=e^x\left(12x^2+4x^3+4x^3+x^4\right)=e^x\left(12x^2+8x^3+x^4\right)$$$$\phantom{f''(x)}=e^xx^2\left(x^2+8x+12\right)=e^xx^2(x+2)(x+6)$$Beim letzten Schritt habe ich zum Lösen der quadratischen Gleichung den Satz von Vieta benutzt. Dazu habe ich zwei Zahlen gesucht, deren Summe \(8\) ist und deren Produkt \(12\) ist: \(2+6=8\) und \(2\cdot6=12\). Damit folgt dann: \((x^2+8x+12)=(x+2)(x+6)\).

Mögliche Kandidaten für Wendepunkte sind also: \(x=-6\;;\;x=-2\;;\;x=0\)

Answer 2

Nach dem Tipp bekommst du

nach e^x * ( 12x^2 + 4x^3) + e^x * ( 4x^3 + x^4 ) dann

f ' ' (x) = ( x^4 + 8x^3 + 12x^2 ) * e^x

und das ist 0 für x=-6 oder x=-2 oder x=0 .

Comments

und das ist 0 für x=-6 oder x=-2 oder x=0 ich verstehe nicht wie du auf das ganze kommst. dass e^x=0 ist, verstehe ich aber den rest nicht. 

---

dass e^x=0 ist, verstehe ich

Ich nicht, denn e^x ist NIE Null.

Es geht um die Nullstellen von

( x⁴ + 8x³ + 12x² ).

Nach Ausklammern von x² wird dieser Term zu

x²(x²+8x+12). Kannst du JETZT nachvollziehen, für welche x dieser Term gleich 0 wird?

---

Verstehst du wie die zweite Ableitung zustande gekommen ist?