Es seien f : A → B und g : B → C Abbildungen.

Question

Aufgabe:

Es seien f : A → B und g : B → C Abbildungen.
Betrachten Sie folgende Aussagen:
i) Wenn g ◦ f injektiv ist, dann ist auch f injektiv.
ii) Wenn f injektiv ist, dann ist auch g ◦ f injektiv.
iii) Wenn g ◦ f surjektiv ist, dann ist auch g surjektiv.

Comments

Da fehlt wohl ein Satz. "Beweisen Sie oder widerlegen Sie durch ein Gegenbeispiel" oder so ähnlich.

Answer 1

Hallo,

Beweis zu i):

Seien \( f: A \to B \) und \( g: B \to C \) beliebige Abbildungen, sodass \( g \circ f \) injektiv ist. Seien weiter \( h_1,h_2: C \to A \) beliebige Abbildungen mit

 \( f \circ h_1 = f \circ h_2   \qquad (*)\)

Dann gilt:

\( \left(g \circ f\right)\circ h_1 =  g \circ \left( f \circ h_1\right) \stackrel{(*)}{=} g \circ \left( f \circ h_2 \right)= \left(g \circ f\right) \circ h_2 \)

 \( \stackrel{g \circ f injektiv}{\Longrightarrow} h_1 = h_2 \)

\( \Longrightarrow f \)  injektiv

iii) kann man ähnlich zeigen