Antwort mit KI erzeugt
Bewiese der Aufgabe:
Um zu zeigen, dass auf Monotonie nicht verzichtet werden kann, suchen wir eine Folge (a\_n) nicht negativer reeller Zahlen, für die die Reihe \(\sum a\_n\) konvergiert, aber \(\{n \cdot a\_n\}\) keine Nullfolge ist.
Beispiel für eine geeignete Folge:
Betrachten wir die Folge:
\(
a\_n = \begin{cases}
\frac{1}{n^2} & \text{wenn } n \text{ gerade ist}, \\
0 & \text{wenn } n \text{ ungerade ist}.
\end{cases}
\)
Schritte zur Lösung:
1.
Überprüfung der Konvergenz von \(\sum a\_n\):
Die Folge \(a\_n\) ist null für ungerade \(n\) und \(\frac{1}{n^2}\) für gerade \(n\). Die Summe der Reihe \(\sum a\_n\) setzt sich also nur aus den geraden Indizes zusammen:
\(
\sum a\_n = \sum_{\text{gerade } n} \frac{1}{n^2}.
\)
Diese Reihe konvergiert, da sie eine Teilreihe der bekannten konvergenten Reihe \(\sum \frac{1}{n^2}\) ist. Die Reihe \(\sum \frac{1}{n^2}\) konvergiert, da sie als ein P-Reihe mit \(p = 2 > 1\) konvergiert.
2.
Überprüfung, ob \(n \cdot a\_n\) eine Nullfolge ist:
Wir betrachten die Folge \(b\_n = n \cdot a\_n\):
\(
b\_n = n \cdot \begin{cases}
\frac{1}{n^2} & \text{wenn } n \text{ gerade ist}, \\
0 & \text{wenn } n \text{ ungerade ist}.
\end{cases} = \begin{cases}
\frac{n}{n^2} = \frac{1}{n} & \text{wenn } n \text{ gerade ist}, \\
0 & \text{wenn } n \text{ ungerade ist}.
\end{cases}
\)
Für gerade \(n\) ist \(b\_n = \frac{1}{n}\), was nicht konvergiert gegen \(0\), sondern gegen \(0\) oscilliert, also ist \(b\_n\) keine Nullfolge.
Zusammenfassung:
Wir haben eine Folge \(a\_n = \sum_{\text{gerade } n} \frac{1}{n^2}\). Die Reihe \(\sum a\_n\) konvergiert, aber \(n \cdot a\_n = \frac{1}{n}\) (für gerade \(n\)) ist keine Nullfolge.
Dies zeigt, dass es nicht ausreicht, lediglich \(\sum a\_n < \infty\) zu fordern, um zu garantieren, dass \(n \cdot a\_n\) eine Nullfolge ist; die Monotonie ist eine notwendige Bedingung.