Zeige, dass auf Monotonie nicht verzichtet werden kann. Man finde eine Folge (an) nicht negativer

Question

Aufgabe:

Zeige, dass auf Monotonie nicht verzichtet werden kann. Man finde eine Folge (a_n) nicht negativer reeller Zahlen mit ∑a_n < ∞ ist, so dass n*a_n keine Nullfolge ist.

Ansatz/Problem:

Reihe konvergiert - stimmt das so? Je öfter ich die Aufgabe lese, desto unsicherer bin ich mir, ob ich die Aufgabe richtig gelöst habe. Was meint ihr?

Sei a_n = 1/n² für n gerade und 0 sonst. Offensichtlich ist (a_n) eine Nullfolge. Aber die Reihe ∑na_n divergiert, denn ∑n*1/n² = ∑ 1/n. Dies ist die harmonische Reihe, sie divergiert.

Unser Satz lautete:

Sei a_n eine monoton fallende Nullfolge mit ∑a_n < ∞. Dann ist (b_n)_(n∈ℕ) mit b_n=n*a_n eine Nullfolge.

Comments

Zeige, dass auf Monotonie nicht verzichtet werden kann. Man finde eine Folge (a_n) nicht negativer reeller Zahlen mit ∑a_n < ∞ ist, so dass n*a_n keine Nullfolge ist.

Das Problem scheint mir, dass du gar nicht auf die Monotonie eingehst. Was ist denn genau euer Satz, bei dem diese Monotonie gefordert ist?

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Unser Satz lautete:

Sei a_n eine monoton fallende Nullfolge mit ∑a_n < ∞. Dann ist (b_n)_(n∈ℕ) mit b_n=n*a_n eine Nullfolge.

(Kriege die Indizes leider nicht in eine Reihe)

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Ich hab mich  nochmal mit der Aufgabe beschäftigt und ich finde absolut kein Beispiel.

an muss doch monoton sein, damit die Reihe überhaupt konvergiert. Wenn wir dabei keine monoton fallende Nullfolge haben, wie in dem Satz, sondern eine monoton wachsende Folge nehmen würden, dann haben wir aber doch negative Zahlen?! Wie soll das denn dann funktionieren?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Bewiese der Aufgabe:

Um zu zeigen, dass auf Monotonie nicht verzichtet werden kann, suchen wir eine Folge (a\_n) nicht negativer reeller Zahlen, für die die Reihe \(\sum a\_n\) konvergiert, aber \(\{n \cdot a\_n\}\) keine Nullfolge ist.

Beispiel für eine geeignete Folge:

Betrachten wir die Folge:

\( a\_n = \begin{cases} \frac{1}{n^2} & \text{wenn } n \text{ gerade ist}, \\ 0 & \text{wenn } n \text{ ungerade ist}. \end{cases} \)

Schritte zur Lösung:

1. Überprüfung der Konvergenz von \(\sum a\_n\):

Die Folge \(a\_n\) ist null für ungerade \(n\) und \(\frac{1}{n^2}\) für gerade \(n\). Die Summe der Reihe \(\sum a\_n\) setzt sich also nur aus den geraden Indizes zusammen:

\( \sum a\_n = \sum_{\text{gerade } n} \frac{1}{n^2}. \)

Diese Reihe konvergiert, da sie eine Teilreihe der bekannten konvergenten Reihe \(\sum \frac{1}{n^2}\) ist. Die Reihe \(\sum \frac{1}{n^2}\) konvergiert, da sie als ein P-Reihe mit \(p = 2 > 1\) konvergiert.

2. Überprüfung, ob \(n \cdot a\_n\) eine Nullfolge ist:

Wir betrachten die Folge \(b\_n = n \cdot a\_n\):

\( b\_n = n \cdot \begin{cases} \frac{1}{n^2} & \text{wenn } n \text{ gerade ist}, \\ 0 & \text{wenn } n \text{ ungerade ist}. \end{cases} = \begin{cases} \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n} & \text{wenn } n \text{ gerade ist}, \\ 0 & \text{wenn } n \text{ ungerade ist}. \end{cases} \)

Für gerade \(n\) ist \(b\_n = \frac{1}{n}\), was nicht konvergiert gegen \(0\), sondern gegen \(0\) oscilliert, also ist \(b\_n\) keine Nullfolge.

Zusammenfassung:

Wir haben eine Folge \(a\_n = \sum_{\text{gerade } n} \frac{1}{n^2}\). Die Reihe \(\sum a\_n\) konvergiert, aber \(n \cdot a\_n = \frac{1}{n}\) (für gerade \(n\)) ist keine Nullfolge.

Dies zeigt, dass es nicht ausreicht, lediglich \(\sum a\_n < \infty\) zu fordern, um zu garantieren, dass \(n \cdot a\_n\) eine Nullfolge ist; die Monotonie ist eine notwendige Bedingung.