Quadratische Gleichung Kirschkernkissen Temperaturen Erhitzen Newton'schen Abkühlgesetz

Question

Aufgabe:

Ein Kirschkernkissen kühlt nach dem Erhitzen sehr langsam nach dem newtonschen Abkühlgesetz ab:

T(t) = (T₀ - T_U)*e^-k*t + T_U

Dabei ist T₀ die Anfangstemperatur und T_U die Umgebenungstemperatur. Unmittelbar nach dem Erhitzen hat es eine Temperatur von 48 °C. Nach 30 Minuten in einem Zimmer mit einer Temperatur von 22 °C hat es noch 42 °C.

a) Gib die Funktion an, die die Temperatur des Kissens beschreibt.

b) Ermittle, nach welcher Zeit das Kissen 37 °C hat.

Problem/Ansatz:

Hab die Formel mit den angegeben Werten versucht durch Technologieeinsatz grafisch zu lösen,jedoch würde mir eine Fehlermeldung angezeigt. Nach längeren Versuchen hab ich es immernoch nicht geschaft.

Answer 1

T(t) = (T0 - TU)*e^(-k*t)+TU.

==>  T(t) = (48 - 22)*e^(-k*t)+22

und

T(30) = 42 = (48 - 22)*e^(-k*30)+22 = 26*e^(-k*30)+22

               20 = 26*e^(-k*30)

             0,7692 = e^(-k*30)

       ln(0,7692) = -30k  ==>  k = 0,008745

also   T(t) = 26*e^(-0,008745*t)+22

 37 = 26*e^(-0,008745*t)+22

15  = 26*e^(-0,008745*t)

0,41667 =e^(-0,008745*t)

-0,8755 = -0,008745*t

      ungefähr t=100    Also nach 100 Min hat es 37°.

Comments

Können Sie mir den Lösungsweg von der Nummer b) erklären?

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Hat sich schon geklärt mir wurde nicht der ganze Lösungsweg gezeigt, erst nach Neuladen der Seite. Danke

Answer 2

Hallo

 du rechnest für a)

T(t)-Tu=20=26*e^-k30Min |:26, dann ln auf beiden Seiten, -durch Technologieeinsatz- daraus k

dann b T(t)=37 einsetzen da du jetzt k kennst  t in Min bestimmen

Gruß lul

Answer 3

Hallo Sonix,

Falls dich der physikalische Hintergrund interessiert

Skizze 1 zeigt den Temperaturabfall zwischen 48 ° ( t = 0 min )
und 22 ° ( t = ∞, Raumtemperatur ). Nun drücke ich Kurve
nach unten und skaliere neu
( 0 min | 26 ) ( ∞ | 0 ) ( 30 | 22 )
Skizze 2

T ( t ) = T0 * e^(-λ*t)
T0 = T (0 ) = 26 °
T ( t ) = 26 * e^(-λ*t)
-------------------------
T ( 30 ) = 26 * e^(-λ*30)
Handschriftlich berechnet
-λ = -0.0087
------------------------
T ( t ) = 26 * e^(-0.0087*t)
-----------------------
Allgemein
26 ist die Temperaturdifferenz zwischen
Anfangswert und Endwert
( T0 - TU ) = 48 minus 22
+ 22 bewirkt das die Funktion wieder
nach oben gedrückt wird,  zur anfänglichen
Skalierung .

T ( t ) = ( T0 - TU ) * e^(-0.0087*t) + 22

Bei Bedarf nachfragen