Uneigentliches Integral berechnen?

Question

Ich möchte das Integral

\( \int\limits_{0}^{1} \) \( \frac{r\sqrt{r^2-1}}{\sqrt{r^2+1}} \)

berechnen.

Leider finde ich auf Anhieb einfach keinen Ansatz, um das zu lösen, da dafür keine Stammfunktion definiert ist.

Gibt es eventuell eine Numerische Lösung, das zu berechnen? Zum Beispiel mit einer Taylorentwicklung um r?

Für einen Tipp für einen Ansatz wäre ich sehr dankbar!

Comments

Es fehlt ein Differential (dr ?). Es handelt sich auch nicht um ein uneigentliches Integral, denn der Nenner wird niemals 0.

Wie lautet die Originalaufgabe?

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Die Originalaufgabe ist folgendes Integral zu lösen:

\( \int\limits_{A}^{} \) \( \sqrt{\frac{1-x^2-y2}{1+x^2+y^2}} \) d(x,y)

Zu lösen. A soll ein Viertel des Einheitskreises sein.

Wenn ich Polarkoordinaten mit x=r cosθ y=r sinθ einsetze, komme ich auf das Integral in der Frage.

Die Grenzen von θ sind 0 bis \( \frac{π}{2} \) und von r von 0 bis 1.

Hab ich irgendwo einen Fehler drin?

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Ok, habe den Fehler gefunden. Es müsste unter der Wurzel im Nenner 1-r^2 heißen.

Answer 1

Der Integrand ist für \(0\le r<1\)  nicht definiert. Deshalb existiert das Integral für reelle Zahlen r nicht.

Unter der Wurzel darf keine negative Zahl stehen. \(r^2-1\ge0\Rightarrow |r|\ge 1\)

(Eventuell gibt es eine Lösung mit komplexen Zahlen.)

Comments

Ja, das stimmt. Ich hatte einen Fehler in meinem Integral!

Und zwar müsste es natürlich

\( \int\limits_{0}^{1} \) \( \frac{r\sqrt{1-r^2}}{\sqrt{1+r^2}} \)

heißen. Somit würde unter dem Bruch kein negativer Term entstehen.

Wie könnte ich da vorgehen?

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\( \int \frac{x \sqrt{1-x^{2}}}{\sqrt{1+x^{2}}} d x=\frac{\sqrt{1-x^{4}}}{2}+\sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{\sqrt{2}}\right)+\mathrm{constant} \)